高二数学直线与平面的夹角、二面角及其度量、距离人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离二.教学目的1、理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性；会求直线与平面的夹角．2、掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角；掌握求二面角大小的基本方法与步骤．3、理解图形F1与图形F2的距离的概念；掌握点线距、线线距、线面距、面面距的概念，会解一些简单的与距离有关的问题．三.教学重点、难点◆重点：（1）斜线与平面所成的角（或夹角）及其求法；（2）二面角的概念，二面角的平面角的定义；（3）点线距、线线距、线面距、面面距的概念；点到平面距离的求法．◆难点：（1）二面角大小的求法．（2）斜线与平面所成的角的求解；公式的灵活运用．四.知识分析3.2.3直线与平面的夹角1、提出问题：（1）直线与平面的位置关系有哪些？（l，或l//α，或l（l⊥α））（2）当直线与平面斜交时，“倾斜程度”该如何衡量？（此时，对线面角的提出有了强烈的要求）（3）线面角的大小怎样度量？方案：转化为合适的线线角．【探究】已知平面γ及它的一条斜线l，斜足为O，则过O在平面γ内的直线m与l所夹的角是否不变？先观察：肯定变化再论证：在l上取一点P，作PQ⊥γ于Q，过Q作QM⊥m于M，连接PM，易知PM⊥m．如图记l与m所成的角（即∠POM）为β，记l与它在平面γ上的射影OQ所成的角为θ，∠QOM＝α在OM上取单位向量，则用心爱心专心115号编辑这说明，由于θ为定角，所以β随α而变化：当α＝0°时，取得最大值，从而β取最小值θ；当α＝90°时，取得最小值，从而β取最大值90°；【结论】斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．2、定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）．注：（1）数学思想——转化：线面角→面面角（2）关键：找射影【练习】（1）在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；⑤BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________；（3）已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA与平面用心爱心专心115号编辑BOC所成的角的大小．3.2.4二面角及其度量1、二面角的概念及记法定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；叫做二面角．说明：对二面角概念的理解，可类比与平面几何中角的定义．射线——半平面，顶点——棱．2、二面角的平面角定义：在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量．我们约定，二面角的范围[0°，180°]．【探讨】尝试用向量求二面角的大小如图所示，分别在二面角的面α、β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则我们可以用向量n1与n2的夹角来度量这个二面角．如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角与该二面角相等或互补．3、求二面角平面角的方法（1）定义法实例：过空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC，两两夹角60°，试求二面角B－OA－C的大小．分析：如图，在射线OA上取点P，使OP＝1，过P作PM⊥OA，交OB于M，作PN⊥OA，交OC于N，连接MN．则显然∠MPN为所求二面角的一个平面角．332221PNMCBAO利用已知条件可以迅速求出OM＝ON＝MN＝2，PM＝PN＝．利用余弦定理，就可以求出∠MPN的大小为．（2）三垂线定理实例：如图，已知直角Rt△ABC，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，试求二面角B－PA－C的大小．用心爱心专心115号编辑分析：由已知，得：平面PAB⊥平面ABC，为了找此二面角的一个平面角，我们可先过C作CM⊥AB，这样CM⊥平面PAB，然后，过M作MN⊥PA于N，连接CN．根据三垂线定理，得：CN⊥PA，于是∠MNC就是所求二面角的一个平面角．（想一想，还可以怎么做？）3.2.5距离【求...
