反客为主 巧解题 学法指导 不分版本试卷VIP专享VIP免费

反客为主巧解题李晓渊有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量、也有变量，同学们在解答时，由于思维定势，不太习惯把其中的常量暂视为变量、而把其中的变量暂视为常量的做法，结果求解过程异常复杂甚至难以解出。其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，如果根据需要，将它们的地位调换，即“反客为主”，常常使许多难题巧妙获解，下面举例说明：一.“反客为主”解高次方程【例1】解方程简析：这是一个关于x的一元三次方程，若采取因式分解法求解，一时真不知道如何分解；若利用三次方程的求根公式来求解，显然十分繁琐，况且考纲也没有要求中学生掌握三次方程的求根公式。怎么办？我们仔细观察原方程的系数，发现与2累次出现，如果把用a表示，则原方程就是x3－2ax2＋a2x－a＋1＝0由于x不为0，此方程可整理成关于a的一元二次方程：xa2－（2x2＋1）a＋（x3＋1）＝0。利用二次方程求根公式不难解得a＝x＋1或a＝x－1＋，于是有＝x＋1或＝x－1＋，从而可求出原方程的根为：，。（解答略）注：①将一个高次方程中累次出现的系数与k分别用a与a2来表示，再转化为解关于a的一元二次方程，这种“反客为主”的求解法，体现了化归的数学思想，也说明了常量与变量的辩证统一的关系，同学们要细心领会并掌握它。②请同学们仿例，解方程。二.“反客为主”解方程组【例2】解关于x、y、z、ω的方程组简析：本题若采取常规消元法求解，无疑十分麻烦。仔细观察原方程，不难发现这四个方程形式一致，即可视a、b、c、d是关于t的一元四次方程t4－t3－zt2－yt－x＝0的四个根。由韦达定理：a＋b＋c＋d＝，ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd＝－z，abc＋abd＋acd＋bcd＝y，abcd＝－x。从而可得原方程组的解为（x，y，z，）＝（－abcd,abc＋abd＋acd＋bcd，－ab－ac－ad－bc－bd－cd，a＋b＋c＋d）。（解答略）注：①本题告诉我们，未知数与已知数在一定条件下是可相互转化的，这就是辩证法。②由本题的简析可知，本题可推广到一般情形，请同学们自己完成。三.“反客为主”求值域【例3】设a∈R，f（x）＝ax2＋x－a（－1≤x≤1），若≤1，求函数f（x）的值域。简析：将f（x）视为x的二次函数来求解，难度较大，若将f（x）视为a的一次函数，即令g（a）＝（x2－1）a＋x，则问题转化为求函数g（a）在[－1，1]上的值域。这样处理也许容易一些，不妨一试。解：当x＝±1时，显然，下设－1＜x＜1。因为，关于a的一次函数g（a）＝（x2－1）a＋x在a∈[－1,1]上单调递减，所以g（1）≤g（a）≤g（－1）。又g（1）＝（x＋）2－≥，g（－1）＝－（x－）2＋，即，故所求的函数f（x）的值域为[－]。注：本题变更主元，将一个难处理的二次函数f（x）视为一次函数g（a），根据这个一次函数g（a）在[－1，1]上单调递减性，很容易地解决了问题，足见“反客为主”这一数学方法的威力。四.“反客为主”定参数【例4】设a为正整数，且关于x的二次方程ax2＋2（2a－1）x＋4（a－3）＝0至少有一个整数根，试确定参数a的值。简析：若针对x的二次方程用求根公式，再对判别式讨论，异常复杂。如果变更主元，从原方程解出参数a，再由a≥1,这样处理可以一试。解：设x0是原方程的一个整数根，若视a为主元，则原方程可化为a＝。由a为正整数知，，解得：－4≤x0≤2且x0≠－2。从而x0只可能取－4、－3、－1、0、1、2，逐一代入a的表达式中，可得a的取值为1、6、10、3、、1。故满足条件的所有整数a的值共四个：1、3、6、10。注：设a为整数，且关于x的二次方程ax2＋2（a－3）x＋（a－2）＝0至少有一个整数根，试确定参数a的值。（答案：2，－4，－10）五.“反客为主”证不等式【例5】已知a∈R且0＜a＜1，求证；对任意的x≠0，都有不等式2lg恒成立。简析：若令2x＝t（t＞0，t≠1），则问题转化为证明，即证明（a2－3a）t4＋2at3＋（2a－2）t2＋2t－2＜0（*）上述（*）是关于变量t的四次不等式，再证下去，思维受阻，怎么办？我们重新审视（*），（*）中有两个变元，主元是t，参元是a,t的最高次数是4，而a的最高次数是2，何不把这个关于t的四次式视为关于a的二次式呢？即令g（a）＝t4a2－（3t4－2t3－2t2）a－2（t2－t＋1），a∈（0，1），从而转...