1.1.3导数的几何意义[A基础达标]1．已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°解析：选B.曲线y＝x2－2在点P处的切线斜率为k＝lim＝lim(1＋Δx)＝1，所以在点P处的切线的倾斜角为45°.故选B.2．下列各点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A．(0，0)B．(2，4)C．D．解析：选D.设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝lim＝2x0＝tan＝1，所以x0＝，y0＝.3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－4＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：选A.设切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：选A.因为点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，所以b＝1.又y′＝lim＝2x＋a，所以过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于(1)A．2B．3C．4D．5解析：选A.易得切点P(5，3)，所以f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.6．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________．解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.答案：37．已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．解析：由得所以两曲线的交点坐标为(1，1)．由f(x)＝，得f′(x)＝lim＝lim＝，所以y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．即x－2y＋1＝0.答案：x－2y＋1＝08．已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是________．(1)f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0；(2)f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；(3)f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方；(4)f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方．解析：f′(1)＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；又f(1)＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．答案：(2)(3)9．求曲线y＝x2－2x上点P(a，0)处的切线方程．2解：由P在曲线上可得a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.由导数的定义得y′＝lim＝lim＝lim＝lim(2x＋Δx－2)＝2x－2.所以y′|x＝0＝2×0－2＝－2，y′|x＝2＝2×2－2＝2.故在点P1(0，0)处的切线方程为y－0＝－2(x－0)，即y＝－2x.在点P2(2，0)处的切线方程为y－0＝2(x－2)，即y＝2x－4.10．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由得x2＋4＝x＋10，即x2－x－6＝0，所以x＝－2或x＝3.分别代入直线的方程，相应得y＝8或y＝13.所以抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13)．(2)因为y＝x2＋4，所以y′＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.所以y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6.所以在点(－2，8)处的切线方程为4x＋y＝0，在点(3，13)处的切线方程为6x－y－5＝0.[B能力提升]11．曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1，1)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)解析：选C.y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝y′|x＝x0＝lim＝lim＝1－<1.即k<1.312．设f(x)存在导函数，且满足lim＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：选B.lim＝lim＝f′(1)＝－1.13．已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为f′(x)＝lim＝lim＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，所以切点的坐标为(－，)或(2，3)．当切点为(－，)时，有＝4×(－)＋a，a＝.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.所以当a＝时，切点为(－，)；当a＝－5时，切点为(2，3)．14．(选做题)已知函数f(x)＝x3.(1)...
