（江苏专版）高考数学二轮专题复习与策略 名师寄语 第3点 注重知识交汇，强化综合运用教师用书 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3点注重知识交汇，强化综合运用在知识交汇处命制试题是一个永恒不变的规律．分析高考试题，我们不难发现，几乎所有的试题都是在“联系”上做“文章”，如果我们对数学知识的掌握是孤立的，那么在解题时，条件与条件之间、条件与结论之间的“联系”就很难做到沟通，也就很难找到解决问题的有效策略．因此，我们在经历了一轮基础性复习之后，关注知识点间的联系，强化综合成为二轮专题复习的重要策略．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2.[解题指导]求f′(x)――→讨论函数f(x)的单调性――――――→求a的取值范围――→x1＋x2＜2⇔f(x1)＞f(2－x2)――→证明结论．[解](1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).1分①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点.2分②设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，故f(x)存在两个零点.4分③设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点．若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.6分又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞).8分(2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0.9分由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.11分设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，故当x＞1时，g(x)＜0.13分从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2.14分【名师点评】本题以函数的零点为载体，融导数、不等式于其中，重点考查了学生的分类讨论思想和等价转化及推理论证能力．复习该部分知识时，要强化函数、方程、不等式三者间的内在联系，突现导数解题的工具性．由本例可以看出，在二轮专题复习中，我们务必要密切关注知识之间的相互联系，在强化综合中，加强思维灵活性训练，从而提高分析问题和解决问题的能力，回避偏题、难题、怪题和旧题．总体来说，在二轮专题复习中，我们要做到“三个强化，三个淡化，一个渗透”，即强化主干知识，淡化细枝末节；强化基础能力，淡化题型套路；强化综合应用，淡化“偏、难、怪、旧”，渗透数学思想．