【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章解三角形学业分层测评14解三角形的实际应用举例北师大版必修5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是()A．50nmileB．70nmileC．90nmileD．110nmile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile，30nmile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝＝70nmile.【答案】B2．如图237所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于()图237A．100米B．50米C．50米D．50(＋1)米【解析】设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，所以h－h＝100，即h＝50(＋1)米．【答案】D3．如图238，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α＜β)，则A点离地面的高度AB等于()图238A.B.C.D．【解析】在△ADC中，∠DAC＝β－α.由正弦定理得＝，∴AC＝，∴AB＝AC·sinβ＝.【答案】A4．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长()A．1千米B．千米1C.千米D．2千米【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝千米．【答案】B5．(2014·四川高考)如图239，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()图239A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m【解析】如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－)(m)．所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．【答案】C二、填空题6．某人向正东方向走xkm后向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为______.【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°.由余弦定理得()2＝32＋x2－2×3·x·cos30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，检验均符合题意．【答案】或27．在200m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________．【解析】如图，设塔AB高为h，在Rt△CDB中，CD＝200m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝＝(m)．在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°.2在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝m.【答案】m8．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【解析】如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．【答案】10三、解答题9．A、B、C、D四个景点，如图2310，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A、D相距2km，C、D相距(3－)km，求A、B两景点的距离．图2310【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得＝，即BD＝＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.即A、B两景点的距离为2km.10．据气象台预报，距S岛正东方向300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响，问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.【导学号：67940044】图23113【解】设台风中心经过t小时到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2·300·30t·cos60°，若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702，化简得t2－10t＋19≤0，解得5－≤t≤5＋，所以从现在起，经过5－小时S岛开始受到影响，5＋小时后影响结束．持续时间为(5＋)－(5－)＝2小时．即S岛受台风影响，从现在起，经过5－小时台风开始影...
