学业分层测评(十四)向量的概念及表示(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，则c与b必定________．【解析】平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，c，b同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)．【答案】平行(或共线)2．如图(1)，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图(2)中提供的向量行走，则这些向量的排列顺序为________．图217【答案】aedcb3．已知a，b为两个向量，给出以下4个条件：①|a|＝|b|；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；④a与b都是单位向量．由条件________一定可以得到a与b平行．【解析】长度相等或都是单位向量不能得到a∥b，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a∥b.故填②③.【答案】②③4．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________.【解析】 AB与BC不共线，且m∥AB，m∥BC，∴m＝0.【答案】05．如图218所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．图218【解析】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：AC，CA，BD，DB；模长为3的向量有：AD，DA.【答案】AC，CA，BD，DB，AD，DA6．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a与b共线的是________．(填所有正确的序号)1【解析】根据相等向量一定是共线向量知①正确；|a|＝|b|但方向可以任意，∴②不成立；a与b反向必平行或重合，∴③成立；由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，得④成立；两单位向量的模相等但方向不定，∴⑤不成立．【答案】①③④7．如图219，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF方向相反的向量为________．图219【解析】 AB∥EF，CD∥EF，∴与EF方向相反的向量为CD，BA.【答案】CD，BA8．如图2110所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．图2110(1)与向量ED相等的向量有________；(2)若|AB|＝3，则向量EC的模等于________．【解析】相等向量既模相等，又方向相同，所以与ED相等的向量有AB，DC.若|AB|＝3，则|ED|＝|DC|＝3，所以，|EC|＝2×3＝6.【答案】(1)AB，DC(2)6二、解答题9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．图2111(1)在如图2111所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB；(2)求B地相对于A地的方位.【导学号：06460041】【解】(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC，∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC，则B地相对于A地的方位是“北偏东60°，6千米”．210．如图2112所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．图2112(1)写出与AO相等的向量；(2)写出与AO共线的向量；(3)向量AO与CO是否相等？【解】(1)与AO相等的向量有：OC，BF，ED.(2)与AO共线的向量有：OA，OC，CO，AC，CA，ED，DE，BF，FB.(3)向量AO与CO不相等，因为AO与CO的方向相反，所以它们不相等．能力提升]1．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________.【解析】结合菱形的性质可知|BD|＝×2＝2.【答案】22．如图2113所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连结相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC平行且长度为2的向量个数有________．图2113【解析】图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．【答案】8个3．如图2114所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{PQ|P，Q∈M，且P，Q不相等}，则集合T有________个元素．图2114【解析】以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量...
