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高中数学 2.4.1抛物线的标准方程课时训练 苏教版选修1-1VIP免费

高中数学 2.4.1抛物线的标准方程课时训练 苏教版选修1-1_第1页
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2.4.1抛物线的标准方程一、填空题1.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为________.2.双曲线-=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为________.3.已知点P为抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(,4),则PA+PM的最小值是________.4.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为________.5.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若OA·AF=-4,则点A的坐标是________.6.动圆C恒过定点(0,2)并总与直线y=-2相切,则此动圆圆心的轨迹方程为________.7.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点.若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=________.8.已知圆O的方程为x2+y2=4,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为________.9.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足PQ≥|a|,则a的取值范围是________.二、解答题10.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求点M的坐标.111.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上,点A(2,)在抛物线内.若抛物线上一动点P到A、F两点距离之和的最小值为4,求抛物线C的方程.12.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两个不同动点A,B满足OA⊥OB.(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;(2)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.2答案1解析:抛物线的方程可化为x2=y,∵准线方程为y=2,∴-=2,则a=-.答案:-2解析:依题意,e==2,c=1,即解得m=,n=,∴mn=.答案:3解析:如图所示,焦点F(,0),A(,4)在抛物线外部.显然,当P、A、F三点共线时,PA+PM才有最小值,此时PA+PM=PA+PF-=FA-=-=.答案:4解析:∵点M到对称轴的距离为6,∴设点M的坐标为(x,±6).∵点M到准线的距离为10,∴解得或即点M的横坐标为1或9.答案:1或95解析:焦点F(1,0),设A(,y0),则OA=(,y0),AF=(1-,-y0),由OA·AF=-4解得y0=±2,∴点A的坐标是(1,±2).答案:(1,±2)6解析:依题意知,圆心到点(0,2)的距离等于到直线y=-2的距离,则其轨迹是以(0,2)为焦点,以y=-2为准线的抛物线,∴所求轨迹方程为x2=8y.答案:x2=8y7解析:设点A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),由题意知F(1,0),则有xA-1+xB-1+xC-1=0,即xA+xB+xC=3.所以|FA|+|FB|+|FC|=(xA+xB+xC)+3×=3+3=6.答案:68解析:如图所示,设直线l为抛物线C的准线,过A、O、B向直线l作垂线,垂足分别为A′、O′、B′,根据抛物线的定义,AF+BF=AA′+BB′,=OO′=2,∴AF+BF=4>AB=2,故焦点F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),由a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).答案:+=1(y≠0)9解析:设Q(,t),由|PQ|≥|a|,得(-a)2+t2≥a2,即t2(t2+16-8a)≥0,∴t2+16-8a≥0,即t2≥8a-16恒成立,则8a-16≤0,∴a≤2.答案:(-∞,2]10解:由抛物线方程y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为F(-,0),准线方程为x=,设点M到准线的距离为d,则d=MF=10,即-(-9)=10,∴p=2,故抛物线方程为y2=-4x.将M(-9,y)代入抛物线方程,得y=±6,∴点M(-9,6)或(-9,-6).311解:设抛物线方程为y2=2px(p>0),其准线为x=-,过P点作抛物线准线的垂线,垂足为H,由定义知,PH=PF.∴PA+PF=PA+PH,故当H、P、A三点共线时,PA+PF最小.∴PA+PF的最小值为+2=4,∴p=4,∴抛物线C的方程为y2=8x.12解:(1)设△AOB的重心G的坐标为(x,y),点A(x1,y1),B(x2,y2),则∵OA⊥OB,∴kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=0.③又∵点A,B在抛物线上,∴y1=x,y2=x,代入③化简得x1x2=-1.由①得x1+x2=3x,∴y==(x+x)=[(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+.故△AOB的重心G的轨迹方程为y=3x2+.(2)S△AOB=|OA|·|OB|==.由(1)得S△AOB=≥==×2=1.当且仅当x=x,即x1=-x2=1时,等号成立.∴△AOB的面积存在最小值,最小值为1.4

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