第十四篇不等式选讲(选修45)第1节绝对值不等式【选题明细表】知识点、方法题号解绝对值不等式1,3,4与绝对值不等式有关的证明2,3与绝对值不等式有关的恒成立问题2,41.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1时,且当x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)k(x-1)-恒成立,求实数k的取值范围.(1)证明:|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,所以≥4.(2)解:记h(x)=|2x+1|-|x+1|=若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线y=k(x-1)-的上方,因为y=k(x-1)-经过定点(1,-),当x=-时,y=h(x)取得最小值-,显然,当y=k(x-1)-经过定点P(1,-)与M(-,-)时,kPM==,即k>;当y=k(x-1)-经过定点P(1,-)与直线y=x平行时,k得到最大值1,所以k∈(,1].3.(2016保定一模)设函数f(x)=|x-a|+1,a∈R.(1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|;(2)若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2.(1)解:当a=4时,不等式f(x)<1+|2x+1|即为|x-4|<|2x+1|.①当x≥4时,原不等式化为x-4<2x+1,得x>-5,故x≥4;②当-≤x<4时,原不等式化为4-x<2x+1,得x>1,故10,n>0,所以m+2n=(m+2n)·(+)=3+(+)≥3+2,当且仅当m=1+,n=1+时,取等号,故m+2n≥3+2,得证.4.(2016大同调研)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集;(2)当x∈[,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,由f(x)≤3,可得|2x-1|+|x-2|≤3,所以①或②或③解①得0≤x<;解②得≤x<2;解③得x=2.综上可得,0≤x≤2,即不等式f(x)≤3的解集为[0,2].(2)因为当x∈[,2]时,f(x)≤3恒成立,即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x,故2x-4≤2a-x≤4-2x,即3x-4≤2a≤4-x.再根据3x-4的最大值为6-4=2,4-x的最小值为4-2=2,所以2a=2,所以a=1,即a的取值范围为{1}.
