第5讲导数的简单应用专题强化训练1．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B．1C．0D．不存在解析：选A.因为f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，解得x<－或x>0，即f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，故选C.3．已知f(x)＝x2＋ax＋3lnx在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－2]B.C．[－2，＋∞)D．[－5，＋∞)解析：选C.由题意得f′(x)＝2x＋a＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a2－24≤0或⇔－2≤a≤2或a≥－4⇔a≥－2.4．(2019·台州二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝，若F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，则函数f(x)的最小值是()A．2B．1C．0D．－1解析：选C.因为f′(x)＝2x＋b，所以F(x)＝，F′(x)＝，又F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，所以得所以f(x)＝(x＋2)2≥0，f(x)min＝0.5．(2019·温州瑞安七校模拟)已知函数f(x)＝(x－x1)·(x－x2)(x－x3)(其中x1＜x2＜x3)，g(x)＝ex－e－x，且函数f(x)的两个极值点为α，β(α＜β)．设λ＝，μ＝，则()A．g(α)＜g(λ)＜g(β)＜g(μ)B．g(λ)＜g(α)＜g(β)＜g(μ)C．g(λ)＜g(α)＜g(μ)＜g(β)D．g(α)＜g(λ)＜g(μ)＜g(β)解析：选D.由题意，f′(x)＝(x－x1)(x－x2)＋(x－x2)(x－x3)＋(x－x1)(x－x3)，因为f′()＝－＜0，f′()＝－＜0，因为f(x)在(－∞，α)，(β，＋∞)上递增，(α，β)上递减，所以α＜λ＜μ＜β，因为g(x)＝ex－e－x单调递增，所以g(α)＜g(λ)＜g(μ)＜g(β)．1故选D.6．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)已知函数f(x)＝x＋＋a，x∈[a，＋∞)，其中a＞0，b∈R，记m(a，b)为f(x)的最小值，则当m(a，b)＝2时，b的取值范围为()A．b＞B．b＜C．b＞D．b＜解析：选D.函数f(x)＝x＋＋a，x∈[a，＋∞)，导数f′(x)＝1－，当b≤0时，f′(x)＞0，f(x)在x∈[a，＋∞)递增，可得f(a)取得最小值，且为2a＋，由题意可得2a＋＝2，a＞0，b≤0方程有解；当b＞0时，由f′(x)＝1－＝0，可得x＝(负的舍去)，当a≥时，f′(x)＞0，f(x)在[a，＋∞)递增，可得f(a)为最小值，且有2a＋＝2，a＞0，b＞0，方程有解；当a＜时，f(x)在[a，]递减，在(，＋∞)递增，可得f()为最小值，且有a＋2＝2，即a＝2－2＞0，解得0＜b＜.综上可得b的取值范围是(－∞，)．故选D.7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟模拟)函数f(x)＝的大致图象是()解析：选B.由f(x)的解析式知有两个零点x＝－与x＝0，排除A，又f′(x)＝，由f′(x)＝0知函数有两个极值点，排除C，D，故选B.8．(2019·成都市第一次诊断性检测)已知曲线C1：y2＝tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2：y＝ex＋1＋1也相切，则t的值为()A．4e2B．4eC.D.解析：选A.由y＝，得y′＝，则切线斜率为k＝，所以切线方程为y－2＝，即y＝x＋1.设切线与曲线y＝ex＋1＋1的切点为(x0，y0)．由y＝ex＋1＋1，得y′＝ex＋1，则由ex0＋1＝，得切点坐标为，故切线方程又可表示为y－－1＝，即y＝x－ln＋＋1，所以由题意，得－ln＋＋1＝1，即ln＝2，解得t＝4e2，故选A.9．(2019·金华十校高考模拟)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1，若曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a的取值范围为____________．解析：由题意知，f(x)＝x3－x2＋ax－1的导数f′(x)＝2x2－2x＋a.2x2－2x＋a＝3有两个不等正根，则，得3＜a＜.答案：10．(2019·湖州市高三期末)定义在R上的函数f(x)满足：f(1)＝1，且对于任意的x∈R，都有f′(x)＜，则不等式f(log2x)＞的解集为________．解析：设g(x)＝f(x)－x，因为f′(x)＜，所以g′(x)＝f′(x)－＜0，所以g(x)为减函数，又f(1)＝1，2所以f(log2x)＞＝log2x＋，即g(log2x)＝f(log2x)－log2x＞＝g(1)＝f(1)－＝g(log22)，所以log2x＜log22，又y＝log2x为底数是2的增函数，...
