课时作业48双曲线一、选择题1．(2018·南昌模拟(一))若圆锥曲线C：x2＋my2＝1的离心率为2，则m＝()A．－B.C．－D.解析：本题考查双曲线的标准方程和几何性质．圆锥曲线C的离心率为2，知C为双曲线，m＜0，标准方程为x2－＝1，a2＝1，b2＝，则c2＝1＋，离心率e＝＝＝2，解得m＝－，故选C.答案：C2．(2017·天津卷，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程．不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.答案：D3．(2018·郑州第二次质量检测)已知P为双曲线－x2＝1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为()A．4B．5C.D．与点P的位置有关解析：本题考查双曲线的几何性质．双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，设P(m，n)，则n2－4m2＝4，|PA|·|PB|＝·＝＝，故选C.答案：C4．(2018·合肥检测(一))已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为1，则p的值为()A．1B.C．2D．4解析：本题考查双曲线、抛物线的几何性质．由题可设双曲线－x2＝1的渐近线y＝±2x与抛物线y2＝2px的准线x＝－的交点为A，B，则AB＝2p，△AOB的面积为×2p×＝1，p＞0，解得p＝，故选B.答案：B5．(2018·湖南省五市十校高三联考)已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知△MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是()A.B．2C．1＋D．2＋解析：由已知得＝2c，即c2－2ac－a2＝0，所以e2－2e－1＝0，解得e＝1±，又e＞1，所以e＝1＋，故选C.答案：C6．(2018·湖北调考)已知点A(－1,0)，B(1,0)为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为()A．x2－＝1B．x2－＝1C．x2－y2＝1D．x2－＝1解析：本题考查双曲线的几何性质．由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，故选C.根据条件求得点M的坐标是解题的关键．答案：C7．(2018·长沙模拟(二))给出关于双曲线的三个命题：①双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x；②若点(2,3)在焦距为4的双曲线－＝1上，则此双曲线的离心率e＝2；③若点F，B分别是双曲线－＝1的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：本题考查双曲线的几何性质．对于①，双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，①错误；对于②，2c＝4，c＝2，且－＝1，a2＋b2＝4，解得a＝1，则该双曲线的离心率e＝＝2，②正确；对于③，F(±c,0)，B(0，±b)，FB的中点坐标均不满足其渐近线方程y＝±x，③正确，所以正确命题的个数是2，故选C.答案：C8．(2018·福州毕业班检测)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|＝，则E的离心率是()A．2B.C.D.解析：本题考查双曲线的定义、几何性质．由题意可得c＝3，|AF1|＝|AF2|,2a＝|PF1|－|PF2|＝|PA|＋|AF1|－|PF2|＝|PA|＋|AF2|－|PF2|＝2|AQ|＝2，则a＝，则该双曲线的离心率e＝＝＝，故选C.答案：C9．(2018·贵州兴义八中月考，12)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，且mn＝，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：由题意可知A，B，代入OP＝mOA＋nOB得P，把点P的坐标代入双曲线方程－＝1，整理得4e2mn＝1，因为mn＝，所以e＝，故选C.答案：C10．(2018·青岛检测)已知双曲线C1：－＝1(a＞0...
