课时分层作业(十四)空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算(建议用时：60分钟)一、选择题1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0B．1C．2D．3B[因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B．]2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于()A．B．C．－D．－A[ CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，∴λ＝．]3．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k等于()A．0B．1C．－1D．±1D[若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴∴k＝±1．]4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A．OM＝3OA－2OB－OCB．OM＋OA＋OB＋OC＝0C．MA＋MB＋MC＝0D．OM＝OB－OA＋OCC[ MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC，∴M与A，B，C必共面．]5．已知在长方形ABCDA1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则AF＝()A．AA1＋AB＋ADB．AA1＋AB＋ADC．AA1＋AB＋ADD．AA1＋AB＋ADD[如图所示，AF＝AE，AE＝AA1＋A1E，A1E＝A1C1，A1C1＝A1B1＋A1D1，A1B1＝AB，A1D1＝AD，所以AF＝AA1＋A1C1＝AA1＋AB＋AD，故选D．]二、填空题6．在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________．(用a，b，c表示)a＋b＋c[OE＝OA＋AE＝a＋AD＝a＋(OD－OA)＝a＋OD＝a＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c．]7．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP＝OA＋OB＋λOC确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．[根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得OP＝xOA＋yOB＋zOC成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝．]8．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若AC1＝xAB＋2yBC＋3zC1C，则x＋y＋z＝________．[如图所示，AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋BC＋(－1)C1C．又 AC1＝xAB＋2yBC＋3zC1C，∴xAB＋2yBC＋3zC1C＝AB＋BC＋(－1)C1C，∴解得∴x＋y＋z＝1＋－＝．]三、解答题9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．(1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA；(2)PA＝xPO＋yPQ＋PD．[解]如图所示，(1) OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC)＝PQ－PA－PC，∴x＝y＝－．(2) PA＋PC＝2PO，∴PA＝2PO－PC．又 PC＋PD＝2PQ，∴PC＝2PQ－PD．从而有PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD．∴x＝2，y＝－2．10．在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1N与A1B，A1M共面．[证明] A1B＝AB－AA1，A1M＝A1D1＋D1M＝AD－AA1，AN＝AC＝(AB＋AD)，∴A1N＝AN－AA1＝(AB＋AD)－AA1＝(AB－AA1)＋(AD－AA1)＝A1B＋A1M，∴A1N与A1B，A1M共面．1．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若AB，CD共线，则AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4C[显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若AB，CD共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C．]2．如图是一平行六面体ABCDA1B1C1D1，E为BC延长线上一点，BC＝2CE，则D1E＝()A．AB＋AD＋AA1B．AB＋AD－AA1C．AB＋AD－AA1D．AB＋AD－AA1B[取BC的中点F，连接A1F，则A1D1綊FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1F綊D1E，所以A1F＝D1E．又A1F＝A1A＋AB＋BF＝－AA1＋AB＋AD，所以D1E＝AB＋A...
