2025年将军饮马模型终稿VIP免费

将军饮马模型一、背景知识:【传说】早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一种百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会,应当如何走才干使路程最短？这个问题的答案并不难,据说海伦略加思考就解决了它．从此后来,这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短,垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移;【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1。两定一动型:两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一种动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB,与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理:两点之间线段最短。证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中,由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重叠时取﹦）例2：在定直线l上找一种动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小。核心：找对称点作法：作定点B有关定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC。原理:两点之间，线段最短证明:连接AC，与直线l的交点Q,P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知:AP+PC≧AC(当且仅当PQ重叠时取﹦）2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A有关OM的对称点A'，作点A有关ON的对称点A’’，连接A’A'’,与OM交于点B,与ON交于点C，连接AB，AC,△ABC即为所求．原理：两点之间,线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短．作法:作点A有关OM的对称点A’，作点B有关ON的对称点B’,连接A'B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理:两点之间，线段最短3。两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小。提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A'，作A’有关直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M.作法二：作点A有关直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。原理：两点之间，线段最短,最小值为A’’B+MN例6：(造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？例6：直线l1∥l2，在直线l1上找一种点C，直线l2上找一种点D，使得CD⊥l2，且AC＋BD＋CD最短．作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A'B+CD原理：两点之间，线段最短，4.垂线段最短型例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．原理：垂线段最短点A是定点,OM，ON是定线，点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．作法：作点A有关OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，交OM于点B，B、C即为所求。例8：在定直线l上找一种动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA—PB最小。作法:连接AB,作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P此时｜PA—PB｜=0原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等例9：在定直线l上找一种动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即｜PA-PB|最大作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。原理：三角形任意两边之差不大于第三边例10：在定直线l上找一种动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB｜最大作法：作点B有关l的对称点B，连接AB，交交l于点P即为所求,最大值为AB的长度。原理：三角形任意两边之差不大于第三边典型例题三角形1．如图，...