高中数学 第三章 推理与证明 高考数学类比题考查类型探求拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件VIP专享VIP免费

高考数学类比题考查类型探求从近几年高考数学试题中不难看出，类比题已成为高考试题的热点问题。笔者认为求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，通过对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系。下举例谈谈高考数学类比题考查类型。一、图象特征类比型例1、如图1，对于函数2()(0)fxxx上任意两点A2(,)aa,B2(,)bb，连线段AB必在弧线段AB的上方，设点C分AB�的比为(>0)，则由点C在点/C上方可得不等式222()11abab。请分析函数y=lnx(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是.解析:本题的类比物是函数2()(0)fxxx与函数y=lnx(x>0)的图象，而类比项是a,b与之间建立的不等关系.首先弄清不等式222()11abab的来龙去脉。按题给信息，该不等式是“由点C在点/C上方”得到的，也就是说该不等式是这一几何特征的代数化。因为C分AB�的比为(>0)，又因为A2(,)aa,B2(,)bb，所以221ab是C点的纵坐标，而1ab是C点的横坐标，2()1ab就是/C点的纵坐标。因此由C点在/C点的上方.即得222()11abab。最后.作出函数y=lnx(x>0)的图象(如图2)进行比较分析.设函数图象上任意两点A(,ln)aa,B(,)blnb)，点C分AB�的比为(>0)，则C点坐标为为lnln(,)11abab。/C点坐标为(,ln)11abab。显然有C点在/C点的下方。因此可以得到的不等式是lnlnln11abab。点评：本题通过两类函数的图象特征结合定比分点公式类比得出函数一个重要不等式性质，其实质就是函数的凹凸性。二、运算法则类比型例2、已知命题：若数列na为等差数列，且*,(,,),mnmnbnamaaabmnmnNanm则。现已知数列*(0,)nnbbnN为等比数列，且*,(,,),mnbabbmnmnN若类比上述结论，则可得到mnb则。解析:本题的类比物是等差数列na与等比数列nb，类比项是数列的第m+n项与第m项、第n项的等量关系，因为在等差数列na中，由等差数列性质得mnmmnmnnmnaandaandaamdabmd即mnbnamanm。所以在等比数列nb中，*,(,,),mnmnbnamaaabmnmnNanm则同样由等比数列的性质得nnmnmmnmmmnnmnbbqbaqbbqbbq即mnbnnmmba。点评：实际上，等差数列与等比数列的类比是“运算法则”的比较，是等差数列中的“和、差、积、商”与等比数列中的“积、商、幂、开方”一一对应，即等差数列中的“,bnam”在等比数列中变为“,nmba”,“bnam”变为“nmba”，因此mnbnamanm的类比项为mnbnnmmba。三、计算方法类比型例3、对于数学问题“2cos()tantan31已知,cos()=,求的值4”。我们计算可得5tantan11的值。请你分析该数学问题，用类比推理的方法，给出类似的一组可以求tantan的值的条件：。解析：应该说本题的类比物与类比项是难以确定的。我们首先来分析一下原数学问题是如何由条件求出5tantan11的值，将条件利用两角和与差的余弦公式展开，由2coscossinsin31coscossinsin411coscossinsin524tantan5coscos11sinsin24。考虑到tantan的值是由sincoscossin确定的，可以设想条件应该是关于sincos,cossin的二元方程，类比原问题条件形式，自然联想到两角和与差的正弦公式，因此，这组条件可以是：。点评:本题是开放题，条件可以多种多样，一般写出sin()a,sin()=b，只要||1,||1ab即可。)现在我们不难发现，本题的类比物实际上是一种三角运算结构的“定式”，类比项是两角和与差的正、余弦公式。四、性质定义类比型例4、我们知道：在抛物线中，以过抛物线焦点的弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切，类比这一抛物线性质，研究椭圆或双曲线中，以过焦点的弦为直径的与对应准线的位置关系，...