11.2平面的基本事实与推论第十一章立体几何初步学习目标1.会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题.2.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.重点：平面的基本事实.难点：符号语言、文字语言、图形语言之间的转换.知识梳理基本事实1经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.一、平面的基本事实基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.推论1经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.二、平面基本事实的推论推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.例1一点、线确定平面问题常考题型空间中的五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定的平面最多有个.【解析】 空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，∴同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，任意一条线与第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上同一平面内四点确定的面，总共是7个面.【答案】7变式训练［2019·安徽全椒中学高一月考］三条直线两两相交，可确定的平面个数是（）A.1B.1或3C.1或2D.3B例2二证明点、线共面问题如图，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.【证明】（方法1）因为l1∩l2＝A，所以l1和l2在同一平面α内.因为l2∩l3＝B，所以Bl∈2.又因为l2α，所以Bα.∈同理可证Cα.∈又因为Bl∈3，Cl∈3，所以l3α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内.（方法2）因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为Al∈2，l2α，所以Aα.∈因为Al∈2，l2β，所以Aβ.∈同理可证Bα∈，Bβ∈，Cα∈，Cβ.∈所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.解题归纳证明点线共面问题的方法（1）纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；（2）辅助平面法（平面重合法），先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；（3）反证法.变式训练［2019·山东临沂高一检测］已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线.求证：a，b，c，d共面.【证明】（1）当四条直线中有三条相交于一点时，不妨设a，b，c相交于一点A，但Ad，如图.∴直线d和A确定一个平面α.设直线d与a，b，c分别相交于点E，F，G，则A，E，F，Gα.∈ A，Eα∈，且A，Ea∈，∴aα.同理bα，cα.∴a，b，c，d在同一平面α内.（2）当四条直线中任何三条都不共点时，如图. 这四条直线两两相交，设相交直线a，b确定一个平面α.设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，Kα.∈又H，Kc∈，∴cα.同理dα.∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内.综上，a，b，c，d共面.解题归纳点线共面解题流程三点共线、线共点问题<1>三点共线问题例3如图所示，已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线.【解题提示】可以证明P，Q，R既在平面ABC内，又在平面α内，从而P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上.也可以先由AP，AR确定一个平面，说明平面APR与平面α交于PR，再证Q在直线PR上.【证明】（方法1）因为AB∩α＝P，所以PAB∈，Pα.∈又AB平面ABC，所以P∈平面ABC.所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上.同理Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.所以P，Q，R三点共线.（方法2）因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩α＝PR.因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC平面APR.因为QBC∈，所以Q∈平面APR.又Qα∈，所以QPR∈，所以P，Q，R三点共线.解题归纳证明三点共线的方法（1）找出两个平面，然后证明三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在交线上.（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.变式训练如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，点A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证...
