【考纲下载】1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质.第4讲函数的奇偶性(1)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．奇函数的图象关于原点对称．(2)偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．偶函数的图象关于y轴对称．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)1．函数的奇偶性提示：函数f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以两者都不是，但必须注意的是，研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称．对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的T，使得当x取定义域内的每个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数．对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做.提示：(1)一个周期函数不一定有最小正周期；(2)若T为f(x)的周期，则kT(k∈Z，k≠0)也一定是f(x)的周期．最小正周期常数2．函数的周期性A．b＝c＝0B．a＝0C．b＝0，a≠0D．c＝0解析：由f(－x)＝－f(x)，得－ax3＋bx2＋c＝－ax3－bx2－c，∴b＝c＝0.答案：A1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c是奇函数，则()b＝f(－)，c＝f，则有()A．a
0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上，得对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．求解过程注意以下结论的应用：f(x)是偶函数：f(－x)＝f(x)恒成立；f(x)是奇函数：f(－x)＝－f(x)恒成立．解：解法一： f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立．即，即(a2－1)e2x＋1－a2＝0，对任意的x恒成立，∴解得a＝1.【例2】设a>0，f(x)＝是R上的偶函数，求实数a的值．解法二： f(x)是R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴＋ae＝，∴e＋＝0，∴(e2－1)＝0，∴a－＝0.又a>0，∴a＝1.经验证当a＝1时，有f(－x)＝f(x)．∴a＝1变式2：已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.求f(x)在R上的解析式．解：设x<0，则－x>0，由题设f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x.∴f(x)＝与奇函数、偶函数有关的求周期函数解析式问题，求解时将x设在所求解析式的区间上，将x加上或减去周期的倍数，转化为已知解析式的区间，利用奇、偶函数和周期函数的性质求出解析式．【例3】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)的值为()A．－B．－5C．－D．－6解析： log8
