第三节平面向量的数量积考纲点击1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．热点提示1.平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式出现，属中、低档题，但灵活多变．2.可与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点.1．平面向量数量积定义(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量_________叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________，并规定零向量与任一向量的数量积为__.(2)____________________叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．|a||b|cosθ|a||b|cosθ0|a|cosθ(|b|cosθ)如图OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ.|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影．当θ为锐角时，如图①，它是_____．当θ为钝角时，如图②，它是_____．当θ为直角时，如图③，它是_____.当θ＝0°时，它是____.当θ＝180°时，它是______.正值负值0|b|－|b|(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与___________________的乘积．2．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝_______.(2)a⊥b⇔________.b在a方向上的投影|a|cosθa·b＝0(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝_______特别地，a·a＝|a|2或|a|＝______.(4)cosθ＝ab|a||b|(5)|a·b|____|a||b|.－|a||b|a·a≤3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝_____(交换律)；(2)(λa)·b＝_______＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝________4．平面向量数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________(2)若a＝(x，y)，则|a|＝_______.b·aλ(a·b)a·c＋b·cx1x2＋y1y2x2＋y2(5)设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b的夹角为θ，则有cosθ＝________________.x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22(3)两点间距离公式如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么|a|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(4)设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔_________________.x1x2＋y1y2＝01．下面四个命题中，真命题的个数是()①若a·b＝0，则a⊥b；②若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a·b)2＝a2·b2.A．4B．2C．0D．3【解析】①当a·b＝0时，a⊥b或a＝0或b＝0.故①命题错．② a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0，又 b≠0，∴a＝c或b⊥(a－c)，故②命题错误．③ a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等．故③命题不正确．④ (a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2，故④命题不正确．【答案】C2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78【解析】a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．【答案】A3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为()A.13B.135C.655D.65【解析】|a|cosθ＝|a|a·b|a||b|＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝1365＝655.【答案】C4．若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝________.【解析】|b|＝2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2×2＋2＝3.∴|a|2＝5，∴|a|＝5.【答案】55．已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与b的夹角是________．【解析】 a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，∴a·b＝1.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝11×2＝22.∴θ＝π4.【答案】π4数量积的运算已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为3π4，求：(1)(3a－2b)·(a－2b)；(2)|a＋b|.【思路点拨】利用平面向量数量积的定义及运算律．可求出第(1)问；求|a＋b|可先求(a＋b)2，再开方．【自主解答】(1)a·b＝|a|·|b|·cos3π4＝3×4×(－22...
