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高三数学一轮复习 13.64 数学归纳法课件 理 大纲人教版 课件VIP免费

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理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题第十三章极限第64课时数学归纳法1.归纳法:由一些事例推出一般结论的推理方法,特点:特殊→一般2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法.1.根据下面5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有______个点.解析:可归纳出第n个图形中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1.答案:n2-n+12.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球:第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f(3)=________;f(n)=________.(答案用n表示)解析:f(3)=6+3+1=10.观察题目中的图示,不难发现第n堆最底层(第一层)的乒乓球数an=1+2+3+…+n=,第n堆的乒乓球总数相当于n堆乒乓球的底层数之和,即f(n)=a1+a2+a3+…+an=(12+22+32+…+n2)+答案:103.若数列{an}中,a1=3,且an+1=(n∈N*),则数列的通项an等于________.解析:由an+1=,a1=3得,a2=9=32.a3=81=34=,a4=38=,可推测an=.答案:4.上图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块.(用含n的代数式表示)解析:第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)×4=4n+8.答案:4n+8从若干特殊事例出发,通过观察、分析、比较、归纳、猜想出一般结论,然后应用数学归纳法给予证明.这一思想方法对于分析问题和解决问题是非常重要的,特别是在求解存在性或探索性问题时.利用数学归纳法可证明等式、不等式、整除和几何问题等.【例1】是否存在常数a、b、c,使得等式1×22+2×32+…+n·(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n都成立?解答:假设存在a、b、c使等式成立,令n=1,2,3,得解之得a=3,b=11,c=10,故对n=1,2,3等式,1×22+2×32…++n(n+1)2=(3n2+11n+10)成立.用数学归纳法证明:①当n=1时等式成立.②假设n=k(k∈N*,k≥1)时等式成立,即1×22+2×32+…+k(k+1)2=(3k2+11k+10)成立.当n=k+1时,左边=[1×22+2×32+…+k(k+1)2]+(k+1)·(k+2)2=k(k+1)(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+1)(k+2)[k(3k+5)+12(k+2)]=(k+1)·[(k+1)+1]·(3k2+17k+24)=(k+1)[(k+1)+1]·[3(k+1)2+11(k+1)+10]∴n=k+1时等式也成立.由①②可知,对n∈N*等式都成立,所以存在a=3,b=11,c=10,题设等式对一切n∈N*都成立.变式1.用数学归纳法证明:证明:(1)当n=1时,左边=,右边=,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即则当n=k+1时,有===即当n=k+1时,等式成立.根据(1)、(2)可知,对一切n∈N*,等式成立.这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的等式是直接给出的,有时是根据条件从前n项入手,通过观察、猜想,归纳出一个等式,然后再用数学归纳法证明.【例2】已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*)(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若数列{bn}满足=(an+1)bn(n∈N*),证明:{bn}是等差数列.解答:(1)证明:由an+2=3an+1-2an得an+2-an+1=2(an+1-an),即=2,∴{a...

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