理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题第十三章极限第64课时数学归纳法1．归纳法：由一些事例推出一般结论的推理方法，特点：特殊→一般2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法．3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法．4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．1．根据下面5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有______个点．解析：可归纳出第n个图形中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.答案：n2－n＋12．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球：第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________；f(n)＝________.(答案用n表示)解析：f(3)＝6＋3＋1＝10.观察题目中的图示，不难发现第n堆最底层(第一层)的乒乓球数an＝1＋2＋3＋…＋n＝，第n堆的乒乓球总数相当于n堆乒乓球的底层数之和，即f(n)＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(12＋22＋32＋…＋n2)＋答案：103．若数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝(n∈N*)，则数列的通项an等于________．解析：由an＋1＝，a1＝3得，a2＝9＝32.a3＝81＝34＝，a4＝38＝，可推测an＝.答案：4．上图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块．(用含n的代数式表示)解析：第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋8从若干特殊事例出发，通过观察、分析、比较、归纳、猜想出一般结论，然后应用数学归纳法给予证明．这一思想方法对于分析问题和解决问题是非常重要的，特别是在求解存在性或探索性问题时．利用数学归纳法可证明等式、不等式、整除和几何问题等．【例1】是否存在常数a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋…＋n·(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？解答：假设存在a、b、c使等式成立，令n＝1,2,3，得解之得a＝3，b＝11，c＝10，故对n＝1,2,3等式，1×22＋2×32…＋＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)成立．用数学归纳法证明：①当n＝1时等式成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)成立．当n＝k＋1时，左边＝[1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2]＋(k＋1)·(k＋2)2＝k(k＋1)(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋1)(k＋2)[k(3k＋5)＋12(k＋2)]＝(k＋1)·[(k＋1)＋1]·(3k2＋17k＋24)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]·[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]∴n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对n∈N*等式都成立，所以存在a＝3，b＝11，c＝10，题设等式对一切n∈N*都成立．变式1.用数学归纳法证明：证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即则当n＝k＋1时，有＝＝＝即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)、(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出的，有时是根据条件从前n项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明．【例2】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}满足＝(an＋1)bn(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．解答：(1)证明：由an＋2＝3an＋1－2an得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，即＝2，∴{a...
