掌握一些求简单数列通项的方法/能够利用数列的有关知识解决简单的实际问题第16课时数列的综合应用•数列作为特殊的函数，在解决实际问题过程中有着广泛的应用，如人口增长问题、存款利率问题、分期付款问题．利用等差数列和等比数列还可以解决一些简单的已知数列的递推关系求其通项公式等问题．•1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过•图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()•A．289B．1024•C．1225D．1378•解析：观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，•则：a1＝1，•a2＝a1＋2，•a3＝a2＋3，•…•an＝an－1＋n.•∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…•n＝，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数•的只有1225，故选C.•答案：C•2.广州市为成功举办2010年亚运会，决定从2005年到2009年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2005年底更新的车辆数约为现有总车辆数的(参考数据1.14＝1.46,1.15＝1.61)()•A．10%B．16.4%C．16.8%D．20%•解析：本题考查考生的综合应用能力．设市内全部出租车为b,2005年底更新的车辆为a，则2006年更新的车辆为a(1＋10%)，2007年更新的车辆为a(1＋10%)2,2008年更新的车辆为a(1＋10%)3,2009年更新的车辆为a(1＋10%)4，由题意可知：a＋a·(1＋10%)＋a(1＋10%)2＋a·(1＋10%)3＋a·(1＋10%)4＝b，∴a(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)＝b⇒a·＝b，∴16.4%.故2005年底更新的车辆数约为现有总车辆数的16.4%，故选B.•答案：B•3．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2007等于()•A．1B．－5C．4D．5•解析： ∴an＋3＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an.•即{an}是周期为6的数列．∴a2007＝a6×334＋3＝a3＝a2－a1＝4，故选C.•答案：C•4.如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，•当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m，n时，输出结果记为f(m，n)，且计算装置运算•原理如下：•①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f(1,1)＝1；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的•正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大•1，则输出结果为原来3倍．则f(m，n)＝________.•答案：•解数列应用题，要充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模型．(比较典型的问题是存款的利息计算问题，通常的储蓄问题与等差数列有关，而复利计算则与等比数列有关．)•【例1】银行按规定在一定时间结算利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算•方法叫做复利，现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年都比前一年增加利润5千元，两种方案使用期都是10年，到期一次性还本付息，若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两方案的优劣(计算时，精确到千元，并取1.110≈2.594，1.310≈13.79)．•解答：甲方案10年共获利1＋(1＋30%)＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63.•到期时，银行贷款本息为10(1＋10%)10≈25.94.•∴按甲方案扣除贷款本息后，净收益为42.63－25.94＝16.69(万元)．•乙方案10年共获利1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝＝32.5•到期时，银行贷款本息为(1＋10%)＋(1＋10%)2＋…＋(1＋10%)10•＝1.1×≈17.53，•∴按乙方案扣除贷款本息后，净收益为32.5－17.53＝14.97(万元)．•所以甲方案略优于乙方案．•点评：本题甲、乙两种方案分别转化为等比数列和等差数列，而两种方案中贷款的本息和的计算方法也不相同．另外当贷款期限大于10年时，甲方案的优越性更大，当贷款期限少于10年时，则乙方案较优．•1.形如，求通项公式问题可利用累加法；•2．形如，求通项公式问题一般可通过待定系数法；•3．an－λ＝c(an－1－λ)转化为等比数列问题解...
