掌握椭圆的简单几何性质第36课时椭圆的简单几何性质标准方程＝1(a>b>0)(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b对称性坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的．顶点椭圆的与椭圆的交点叫做椭圆的.离心率e＝中心对称轴顶点1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是()解析：设椭圆方程为＝1，则过F1且与椭圆长轴垂直的通径|AB|＝若△ABF2是正三角形，则2c＝，即a2－2ac－c2＝0，(a－c)·(a＋c)＝0，∴e＝.答案：A近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④.其中正确式子的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④解析：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选B.答案：B2．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附3．椭圆＝1上任意一点到焦点F的距离的最小值和最大值分别是________．答案：2,84．已知A、B为椭圆C：＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是，则实数m的值是________．解析：由椭圆几何性质知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，据题意有答案：椭圆的离心率e＝是刻画椭圆性质的不变量，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆．与求椭圆的标准方程相比较，求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于a、b、c的齐次方程，结合a2＝b2＋c2即可求出椭圆的离心率．焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA＋OB与a＝(3，－1)共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设M为椭圆上任意一点，且OM＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，证明λ2＋μ2为定值．【例1】已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上．斜率为1且过椭圆右解答：(1)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，F(c,0)，则直线AB的方程为y＝x－c，代入＝1，化简得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0.令A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，OA＋OB与a共线，得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0.又y1＝x1－c，y2＝x2－c，∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，∴x1＋x2＝，即，所以a2＝3b2.∴c＝，故离心率e＝.(2)证明：由(1)知a2＝3b2，所以椭圆＝1可化为x2＋3y2＝3b2.设OM＝(x，y)，由已知得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，∴ M(x，y)在椭圆上，∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2.即λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.①由(1)知x1＋x2＝c，a2＝c2，b2＝c2.∴x1x2＝∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0.又x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，代入①得λ2＋μ2＝1.故λ2＋μ2为定值，定值为1.比如a＋c，a－c是椭圆上的点到其焦点距离的最大值和最小值；通径长是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等，解决与椭圆相关的最值问题一般要化归为函数问题，然后去求函数的最值．焦点，求|PF1||PF2|的最大值和最小值．解答：解法一：由椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a；|PF1||PF2|≤()2＝a2(当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立)，可知|PF1||PF2|最大值为a2.由|PF1|＝2a－|PF2|，|PF1||PF2|＝(2a－|PF2|)|PF2|＝－|PF2|2＋2a|PF2|.其中a－c≤|PF2|≤a＋c，当|PF2|＝a－c或|PF2|＝a＋c时，|PF1||PF2|≥b2.最小值为b2.【例2】已知点P为椭圆＝1(a>b>0)上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右解法二：设P点坐标为(x0，y0)，由椭圆的第二定义可得|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.又－a≤x0≤a，可知当x0＝0时，|PF1||PF2|取到最大值a2；当x0＝－a，或x0＝a时，|PF1||PF2|取到最小值b2.解法三：设P点坐标为(acosθ，bsinθ)，则|PF1||PF2|＝＝a2－c2cos2θ.当cos2θ＝0时，|PF1||PF2|取到最大值a2；当cos2θ＝1时，|PF1||PF2|取到最小...
