3.2回归分析1.401.501.601.701.801.902.002.101.701.791.881.952.032.102.162.21（一）线性回归直线方程的求法例1．研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间是关系，测得一组数据如下：x1水深x/m流速Y/(m·s)（1）求Y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1.95m时水的流速是多少？xY2.252.01.751.51.252.12.01.91.81.71.61.51.41.3分析：从散点图可以直观地看出变量x与Y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据在平面直角坐标系中，得到平面上8个点.由图可以看出，x与Y之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个回归直线方程来反映这种关系，这些是我们在必修3中学过的知识。ˆybxa用什么方法求？ˆ,ab最小二乘法:利用最小二乘法可以得到的计算公式为ˆ,ab1122211()()()()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx11niixxn11niiyyn由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中分别为a，b的估计值，称为回归截距,称为回归系数，称为回归值．yabxˆ,ababy进一步观察这8个点，容易发现，它们并不是“严格地”在一条直线上。对于某个xi，由上式能确定一个ˆiiiyy一般地说，由于测量流速可能存在误差，或者受某些随机因素的影响，或者上面的回归方程本身就不够精确，与测得的数据yi很可能不相等，即(i=1，2，……，8)，其中是随机误差项。于是就有(i=1，2,ˆiiiyyiiiiyabx……，8)，这就是本题的线性模型。从上述线性模型出法，我们可以求出a与回归系数b的估计值，使得全部误差的平方和达到最小，当然，这是一种很好的估计，最后得到的求的数学公式为ˆˆ,abˆˆ,ab128,,,81821()()ˆˆˆ,()iiiiixxyybaybxxx线性回归方程中，的意义是：以为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加个单位yabxˆˆ,abab1.401.501.601.701.801.902.002.101.701.791.881.952.032.102.162.21例1．研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间是关系，测得一组数据如下：（1）求Y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1.95m时水的流速是多少？水深x/m流速Y/(m·s)解：（1）由上面的分析，可采用列表的方法计算a与回归系数b，序号xyx2xy11.401.701.962.38021.501.792.252.68531.601.882.563.00841.701.952.893.31551.802.033.243.65461.902.103.613.99072.002.164.004.32082.102.214.414.641合计14.0015.8224.9227.993114.001.758x115.821.97758y227.99381.751.99711ˆ0.77324.9281.7515b11ˆ1.97751.750.69415aY对于x的回归直线方程为ˆˆˆ0.6940.733yabxx把x=1.95代入，易得计算结果表明，当水深为1.95m时可以预测渠水的流速约为2.12m/s.ˆ0.6940.7331.952.12(m/s)y（二）线性回归相关关系的检验例2．为了了解某地母亲身高x与女儿身高Y的相关关系，随机测得10对母女的身高如下表所示：母亲身高x/cm159160160163159154159158159157女儿身高Y/cm158159160161161155162157162156试对x与Y进行一元线性回归分析，并预测当母亲身高为161cm时女儿的身高为多少？分析：把这10对数据画出散点图如图所示：yx可以看出x与Y之间有近似地线性关系关系。散点图能帮助我们寻找线性关系关系，既直观又方便。只需一张坐标纸，把已知的成对数据标在直角坐标系中便可得到散点图。即使没有坐标纸，改用普通白纸也可以.因为我们并不要求把点标得十分准确，只要能看出这些点大致分布在某条直线附近就可以了。麻烦在于有时很难说这些点是不是分布在某条直线附近，如下图中的两个散点图，都很难下判断，右边那个图散布的那些点更像在一条曲线附近。oxyyxo此外，假如不考虑散点图，按照例1给出的计算a与回归系数b的公式，我们可以根据一组成对的数据，求出一个回归直线方程。但它能不能反映这组成对数据的变化规律？如不能，这又有多少实际意义呢？为了解决上述问题，我们有必要对x与Y作线性相关检验，简称相关性检验。对于变量x与Y随机抽到的n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，……，(xn，yn)，检验...
