掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念/理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念第52课时空间的角1．直线与平面所成的角(1)一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么说直线和平面所成的角是0°的角．(2)已知AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影．设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角为θ2，AO与AC所成的角为θ，则cosθ＝cosθ1cosθ2.2．三种空间角的向量法计算公式(1)异面直线a，b所成的角θ：cosθ＝|cos〈a，b〉|；其中a，b分别为直线a，b的．(2)直线a与平面α(法向量n)所成的角θ：sinθ＝|cos〈a，n〉|；其中a为直线a的．方向向量方向向量法向量(3)锐二面角θ：cosθ＝|cos〈m，n〉|，其中m，n为两个的．1．如右图所示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是()答案：Ｂ2．已知AB⊥平面α，垂足为B，BC为AC在α内的射影，CD⊂α，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC与平面α所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：C3．如右图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝，则PA与底面ABC所成角为________．答案：4．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是________．答案：90°1.几何法：解决直线与平面所成角的问题，关键是找到斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角．2．向量法：可利用直线的方向向量和平面的法向量，求直线与平面所成的角．【例1】如右图所示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD的中点．求：(1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角．解答：(1)如右图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK， F是AD的中点，∴AE∥FK，则∠CFK为异面直线AE与CF所成的角(或其补角)，设正四面体棱长为a，则可得在Rt△KEC中，CK＝∴在△CFK中，cos∠CFK＝，∴∠CFK＝arccos，即异面直线AE和CF所成角为arccos.(2)在正四面体ABCD中，因为各棱长都相等，E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥面AED(如上图所示)，∴面ADE⊥面BCD，交线为DE，过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD，过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH，∴∠FCH为CF与面BCD所成的角， FH＝AO，∴FH＝a，sin∠FCH＝，∴CF与平面BCD所成的角为arcsin.变式1.如右图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.解答：解法一：如图，(1)证明：连结EP. PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内，∴PD⊥DE.又CE＝ED，PD＝AD＝BC.∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE. F为PB中点，∴EF⊥PB.由三垂线定理得PA⊥AB.∴在Rt△PAB中PF＝AF，又PE＝BE＝EA.∴△EFP≌△EFA.∴EF⊥FA. PB、FA为平面PAB内的相交直线．∴EF⊥平面PAB.(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1.AB＝，PA＝，AC＝.∴△PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB. PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF.连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF.∠GAH为AC与平面AEF所成的角．由△EGC∽△BGA可知由△EGH∽△EBF可知GH＝BF＝.∴sin∠GAH＝.∴AC与平面AEF所成的角为arcsin.解法二：以D为坐标原点，DA的长为单位1，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)证明：设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a，，)．＝(2a,1，－1)，＝(2a,0,0)，∴EF⊥PB，，∴EF⊥AB，又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B.∴EF⊥平面PAB.(2)由AB＝BC，得a＝，可得,异面直线AC、PB所成的角为arccos，．∴.PB⊥AF，又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，∴PB⊥平面AEF.∴AC与平面AEF所成的角为.求二面角的关键是找到二面角的平面角，找二面角的方法主...
