掌握双曲线的定义、标准方程第38课时双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义：平面内到两定点F1，F2的距离的差的为常数(小于|F1F2|且不为零)的动点M的轨迹叫双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做．绝对值焦距(1)设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线焦点F1、F2的坐标分别为(－c,0)、(c,0)．又点M与点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2c>>0)，则双曲线的标准方程是：(其中b2＝，a>0，b>0)．2．双曲线的标准方程2ac2－a21．方程表示的图形是()A．双曲线B．双曲线的右支C．一条直线D．一条射线答案：D2．与方程等价的方程是()答案：C3．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()解析：由知，a＝b＝，c＝3.∴|MF1|=|MF2|＝|MF1|＋2a＝|F1F2|＝6.∴F1到F2M的距离为答案：C4．设点P在双曲线上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于()A．22B．16C．14D．12解析：本题考查双曲线的方程及定义等知识．由题意，a＝3，b＝4，∴c＝5，根据题意，点P在靠近焦点F1的那支上，且|PF2|＝3|PF1|，所以由双曲线的定义，|PF2|－|PF1|＝2|PF1|＝2a＝6，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，故△F1PF2的周长等于3＋9＋10＝22.答案：A在第一定义中，||PF1|－|PF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|(a＞0)．①当|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a时，点P的轨迹是双曲线的一支；当|F1F2|＝2a时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；②当|F1F2|＜2a时，轨迹不存在．在第二定义中，定点F不在定直线l上．若F∈l，则动点的轨迹为两条直线(定点除外)．第一定义的应用主要是解焦点三角形问题．第二定义的应用主要是与准线和焦点有关的距离的最大(小)值问题．【例1】双曲线上有一点P到左准线的距离是4.5，那么点P到右焦点的距离为()A．7.5B．13.5C．1.5D．13.5或1.5解析：如图，由得a＝3，b＝4，c＝5，e＝由双曲线的第二定义知即|PF1|＝7.5.又|F1A2|＝a＋c＝8，∴P点一定在双曲线的左支上，∴|PF2|－|PF1|＝2a，即|PF2|＝2a＋|PF1|＝13.5.答案：B变式1.双曲线上有一点P到左准线的距离是9，求点P到右焦点的距离．解答：由知a＝3，b＝4，c＝5，e＝由双曲线的第二定义知即|PF1|＝15，∴||PF2|－|PF1||＝6.|PF2|＝|PF1|＋6＝21，或|PF2|＝|PF1|－6＝9.因此点P到右焦点的距离为21或9.方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，解出的结果如果是m＞0，n＜0，那么焦点在x轴上，如果m＜0，n＞0，那么焦点在y轴上，在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时，可以用双曲线的定义直接求出a.2．在曲线形状未知的情况下，可利用求轨迹方程的方法求双曲线方程，特别要注意根据定义进行判断，利用标准方程进行化简和整理．1.求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置．如果不能确定，解决【例2】已知定圆C1：(x＋3)2＋y2＝16和C2：(x－3)2＋y2＝4，动圆C和C1、C2都外切，求动圆圆心C的轨迹方程．解答：设动圆半径为r，圆心C的坐标为(x，y)，根据已知条件①－②得，|CC1|－|CC2|＝2，∴所求动圆圆心C的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．又a＝1，c＝3，则b2＝8，因此所求动圆圆心的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)．变式2.已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相切，并过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．解答：设动圆的半径为r，动圆圆心P的坐标为(x，y)，根据已知条件：即|PC|－|PA|＝±4，则动圆圆心的轨迹是以C(－3,0)，A(3，0)为焦点，实轴长2a＝4的双曲线，其方程为类似于椭圆问题，若P为双曲线(a＞0，b＞0)上一点，且F1、F2为双曲线的左、右焦点，则可根据所给条件解焦点△PF1F2.【例3】已知双曲线16x2－9y2＝144，F1、F2是左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2.解答：由16x2－9y2＝144得根据已知条件：＝6①且|F1F2|＝10，由①得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝36，又|PF1||PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100.则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.∴△F1PF2为直角三角形，因此∠F1PF2＝90°.1．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲...
