高三数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件VIP免费

§6.3等比数列及其前n项和基础知识自主学习要点梳理1．等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母____表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)公比qa1·qn－13．等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．G2＝a•b(ab≠0)qn－mak·al＝am·an5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为____.qn[难点正本疑点清源]1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．3．等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)等比数列的通项公式an＝a1qn－1及前n项和公式Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q(q≠1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q＝1和q≠1两种情况．基础自测1．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和Sn＝3n＋k，则实数k＝________.解析由Sn＝3n＋k知a1＝S1＝3＋k，S2＝a1＋a2＝9＋k，∴a2＝S2－S1＝6.又a2a1＝c，即63＋k＝c，∴k＝6－3cc.6－3cc2．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________.解析由题意有a＋c＝2b，由a＋3b＋c＝10，知b＝2，∴a＋c＝4，bc＝a2＝2c，解得a＝－4或a＝2，由a、b、c互不相等知a＝－4.－43．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.解析 a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.2404．(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q等于()A．3B．4C．5D．6解析由已知得3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，两式作差得3(S3－S2)＝a4－a3，化简整理得a4＝4a3，故公比q＝4.B5．在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是()A．2B．－2C．3D．－3解析方法一依题意，q≠1， a1(1－q3)1－q＝7，①a1(1－q6)1－q＝63.②②÷①得1＋q3＝9，∴q3＝8，∴q＝2.方法二 (a1＋a2＋a3)·q3＝a4＋a5＋a6，而a4＋a5＋a6＝S6－S3＝56，∴7·q3＝56，q3＝8，q＝2.A题型分类深度剖析题型一等比数列的基本量的运算例1已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.思维启迪：利用等比数列的基本量的关系式，根据条件列方程，进而求出a1和q.解设{an}的公比为q，由题意知a1＋a1q＋a1q2＝7，a1·a1q·a1q2＝8，解得a1＝1，q＝2，或a1＝4，q＝12.∴an＝2n－1或an＝23－n.探究提高转化成基本量的方程，进而解方程是解决数列问题的基本方法．变式训练1已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．解方法一设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，∴2q＋2q＝203，解得q1＝13，q2＝3.①当q＝13时，a1＝18，∴an＝18×13n－1＝183n－1＝2×33－n.②当q＝3时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.综上所述，an＝2×33－n或an＝2×3n－3.方法二由a3＝2，得a2a4＝4，又a2＋a4＝203，则a2，a4为方程x2－203x＋4＝0的两根，解得a2＝23，a4＝6或a2＝6，a4＝23.①当a2＝2...