数学：１．１《回归分析》课件PPT（北师大版选修1-2）回归分析5.1概述回归分析——研究变量与变量之间关系的数学方法。变量之间的关系：5.1.1确定性关系函数关系，经反复的精确试验或严格的数学推导得到。如S=vt﹒。数学分析和物理学中的大多数公式属于这种类型。到方差分析实际问题中，绝大多数情况下，变量之间的关系不那么简单。如材料的抗拉强度与其硬度之间的关系；材料的性能与其化学成份之间等等。这些变量之间既存在着密切的关系，又不能由一个（或几个）变量（自变量）的数值精确地求出另一个变量（因变量）的数值，而是要通过试验和调查研究，才能确定它们之间的关系，如图5.1所示，虽然各组数据不是准确地服从f(x)关系，但y值总还是随x的增加而增加。我们称这类变量之间的关系为相关关系。5.1.2相关关系图5.1相关关系024681012141605101520xy虽然各组数据不是准确地服从f(x)关系，但y值总还是随x的增加而变化。5.1概述回归分析的主要内容：应用数学的方法，对大量的测量数据进行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式（数学模型）。),,,,(21Ncccxfy（5-1）待定常数5.2最小二乘法原理假设x和y是具有某种相关关系的物理量，它们之间的关系可用下式给出：5.2最小二乘法原理同时测量x，y的数值，设有m对观测结果：),(,),,(),,(2211mmyxyxyx利用观测值，确定。设x，y关系的最佳形式为：Nccc,,,21)ˆ,,ˆ,ˆ,(ˆ21Ncccxfy（5-2）（5-3）最佳估计值如不存在测量误差，则：micccxfyNii,2,1),,,,(21（5-4）由于存在测量误差，因而式（5-3）与（5-4）不相重合，即有：miyyeiii,,2,1ˆ（5-5）残差——误差的实测值5.2最小二乘法原理式（5—3）中的x变化时，y也随之变化。如果m对观测值中有比较多的y值落到曲线（5—1）上，则所得曲线就能较为满意地反映被测物理量之间的关系，y值同时出现的概率最大，则曲线（5—3）就是曲线（5—1）的最佳形式。如图5.1a所示。如果误差服从正态分布，则概率P(e1,e2,…,em)为：miimiiieyyS1212)ˆ(（5—7）当P最大时，求得的曲线就应当是最佳形式。从图5-1a中可以看出，显然，此时下式应最小：miiimyyeeeP122212)ˆ(exp21),,,(（5—6）即残差平方和最小，这就是最小二乘法原理的由来。图5.1aiyˆ38141514108y=0.0108x3-0.4408x2+4.8901x-1.976402468101214161805101520xyx136810131638141514108yi2.489.0213.8314.4613.6410.837.66ei0.52-1.020.170.540.36-0.830.34iyˆ5.2最小二乘法原理这里假定xi无误差。式（5—7）可以写成：miNiicccxfyS1221)ˆ,,ˆ,ˆ,(（5—8）S最小，就应有：0,,0,021NcScScS（5—9）即要求求解如下联立方程组：0)ˆ,,ˆ,ˆ,(0)ˆ,,ˆ,ˆ,(0)ˆ,,ˆ,ˆ,(12121211121NmiNiimiNiimiNiicfcccxfycfcccxfycfcccxfy（5—10）正规方正规方程，最程，最小二乘小二乘解。解。5.3直线的回归5.3.1一元直线回归分析对一元线性回归而言，就是配直线的问题，下面通过例题加以分析说明。例5.1研究腐蚀时间与腐蚀深度两个变量之间的关系，可把腐蚀时间作为自变量x，把腐蚀深度作为因变量y，将试验数据记录在表5-1中。求出x，y之间的线性关系。解：将表5-1中的(x,y)数据，在直角坐标系中对应地做出一系列的点，可得图5.2，这种图称之为散点图。与x的关系大致呈直线关系，但并不是确定性的关系，而是一种相关关系：yˆbxayˆ回归系数（5—11）最佳估计值应使其残差平方和最小，残差为：)(iiibxaye（5—12）图5—2、表5—1时间x，min351020304050606590120腐蚀深度y，u406080130160170190250250290460表5-1试验数据图5—2散点图y=3.2149x+45.007R2=0.97110100200300400500020406080100120140时间x腐蚀深度ybxayˆ.5.3.1一元直线回归分析其平方和为：2112)(miiimiibxayeS（5—13）平方和最小，即：...
