精选李微分方程数值解习题解答1-1如果0)0('，则称0x是)(xJ的驻点（或稳定点）.矩阵A对称（不必正定），求证0x是)(xJ的驻点的充要条件是：0x是方程组bAx的解证明:由)(的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000xxbxxxxAxxJ),(2),()(200xAxxbAxxJ),(),()(0'xAxxbAx必要性:由0)0(',得,对于任何nRx,有0),(0xbAx,由线性代数结论知,bAxbAx00,0充分性:由bAx0,对于任何nRx,0|),(),()0(00'xAxxbAx精选即0x是)(xJ的驻点.§1-2补充:证明)(xf的不同的广义导数几乎处处相等.证明:设)(2ILf,)(,221ILgg为)(xf的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意)()(0ICx,有babadxxxfdxxxg)()()()('1babadxxxfdxxxg)()()()('2两式相减,得到)(0)()(021ICxggba由变分基本引理,21gg几乎处处为零,即21,gg几乎处处相等.补充:证明),(vua的连续性条件(1.2.21)证明:设'|)(|,|)(|MxqMxp,由Schwarz不等式精选||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''vuMvuMdxquvvpuvuaba11*||||.||||2vuM,其中},max{'*MMM习题:1设)('xf为)(xf的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(xf的k阶导数,...2,1(k)解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2ILxf,若有)()(2ILxg,使得对于任意的)(0IC,有bakkbadxxxfdxxxg)()()1()()()(则称)(xf有k阶广义导数,)(xg称为)(xf的k阶广义导数,并记kkdxfdxg)(注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.精选2.利用)(2IL的完全性证明))()((1IHIHm是Hilbert空间.证明:只证)(1IH的完全性.设}{nf为)(1IH的基本列,即0||||||||||||0''01mnmnmnffffff因此知}{},{'nnff都是)(2IL中的基本列(按)(2IL的范数).由)(2IL的完全性,存在)(,2ILgf,使0||||,0||||0'0gfffnn,以下证明0||||1ffn(关键证明dxdfg)由Schwarz不等式,有00||||.|||||)())()((|ffxxfxfnban00'''|||||||||)())()((|ffdxxxgxfnban对于任意的)()(0ICx,成立babanndxxxfdxxxf)()()()(limbabanndxxxgdxxxf)()()()(lim'精选由banbandxxxfdxxxf)()()()(''取极限得到dxxxfdxxxgbaba)()()()('即')(fxg,即)(1IHf,且0||||||||||||0''01ffffffnnn故)(1IH中的基本列是收敛的,)(1IH是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0axxu,则0uuw满足齐次边界条件.w满足的方程为00LufLuLuLw,即w对应的边值问题为精选0)(,0)('0bwawLufLw(P)由定理知,问题P与下列变分问题等价求)(min)(,**12*1wJwJHCwEHwE其中),(),(21)(0*wLufwwawJ.而CuuauLuuJuuLufuuuuawJ),(),()(~),(),(21)(000000*而200)()(),(),(CbubpuuauLu从而**)()()(~)(CbubpuJwJ则关于w的变分问题P等价于:求)(,12*auHCu使得)(min)()(*1uJuJauHu其中)()(),(),(21)(bubpufuuauJ4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理解:令)(0axu,0uuw,则w满足精选0)(,0)('00bwawLufLuLuLw等价于:1EHv0),(),(0vLufvLw应用分部积分,bababadxdxdvdxdwpvdxdwpvdxdxdupdxdvdxdwpdxd|)()),((还原u,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000bvbpvfvuavuavLuvfvuavLufvwa于是,边值问题等价于:求)(,1auHu,使得1EHv,成立0)()(),(),(bvbpvfvua注:形式上与用v去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题精选等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20IH,对于任意)(20IHv用v乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44vfudxudvfLu而bababadxdxdvdxudvdxudvdxdxudvdxud.|),(33334444dxdxvddxuddxdxvddxuddxdvdxudbababa2222222222|上式为),(][2222vfdxuvdxvddxudba定义dxuvdxvddxudvuaba][),(2222,为双线性形式.变分问题为:求)(20IHu,)(20IHv),(),(vfvua1-4精选1.用GalerkinRitz方法求边值问题1)1(,0)0(102"uuxxuu的第n次近似)(xun,基函数nixixi,...,2,1),sin()(解:(1)边界条件齐次化:令xu0,0uuw,则w满足齐次边界条件,且0)1(,0)0(20wwxxLuLuLw第n次近似nw取为niiincw1,其中),...2,1(nici满足的GalerkinRitz方程为njxxcajniiji,...,2,1),(),(21又xdjxixijdxxjxidxxjxiijdxajijiji)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''jxixsinsin21精选由三角函数的正交性,得到jijiiaji,0,212),(22而]1)1[()(2)sin()1(),(3102jjjdxxjxxxx于是得到为偶数为奇数jjjjaxxcjj...
