第8讲平面向量及其应用第第88讲平面向量及其应用讲平面向量及其应用主干知识整合第8讲│主干知识整合1．平面向量运算的两种形式(1)几何运算；(2)坐标运算.2．平面向量数量积及几何意义(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2；(2)a·b等于|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0；(2)向量夹角公式：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；(3)数量积的范围：－|a||b|≤a·b≤|a||b|；(4)模公式：若a＝(x，y)，则|a|＝a2＝x2＋y2；(5)平面上两点距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22.要点热点探究第8讲│要点热点探究►探究点一平面向量的概念与线性运算例1[2011·山东卷]设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上第8讲│要点热点探究【分析】首先理解题设给出的新定义信息，将问题转化成向量的共线问题讨论．D【解析】若C、D调和分割点A，B，则AC→＝λAB→(λ∈R)，AD→＝μAB→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2.对于A：若C是线段AB的中点，则AC→＝12AB→⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A选项错误；同理B选项错误；第8讲│要点热点探究对于C：若C、A同时在线段AB上，则0<λ<1,0<μ<1⇒1λ＋1μ>2，C选项错误；对于D：若C、D同时在线段AB的延长线上，则λ>1，μ>1⇒1λ＋1μ<2，故C、D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．【点评】本题是一道新定义信息题，考查学生对新定义的理解以及处理问题的能力．解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在．第8讲│要点热点探究若四边形A1A2A3A4满足：A1A2→＋A3A4→＝0，(A1A2→－A1A4→)·A1A3→＝0，则该四边形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．直角梯形B【解析】 A1A2→＋A3A4→＝0，∴A1A2→＝A4A3→，即四边形A1A2A3A4是平行四边形．又 (A1A2→－A1A4→)·A1A3→＝A4A2→·A1A3→＝0，∴A4A2→⊥A1A3→.于是，四边形A1A2A3A4是菱形．第8讲│要点热点探究►探究点二平面向量的数量积例2[2011·广东卷]若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0【分析】首先从a∥b且a⊥c入手，找到b与c的关系，再进行数量积计算．第8讲│要点热点探究D【解析】因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.【点评】本题考查向量的运算及向量平行与垂直的关系，抓住a∥b与a⊥c，得到b⊥c，这是解决本题的关键．求解向量的问题，有时从性质入手更为有效．第8讲│要点热点探究△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA→＋AB→＋AC→＝0，|OA→|＝|AB→|，则CA→·CB→等于()A.32B.3C．3D．23C【解析】取BC边中点M，由2OA→＋AB→＋AC→＝0，可得2AO→＝AB→＋AC→＝2AM→，则点M与点O重合．又由|OB→|＝|OC→|＝|OA→|＝|AB→|＝1，可得△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，故|AC|＝|BC|sin60°＝2×32＝3，则CA→·CB→＝|CA→|·|CB→|cosC＝|CA→|2＝3.第8讲│要点热点探究►探究点三利用导数研究函数的单调性问题例3如图8－1，平面上定点F到定直线l的距离|FM|＝2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且(PF→＋PQ→)·(PF→－PQ→)＝0.(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知NA→＝λ1AF→，NB→＝λ2BF→，求证：λ1＋λ2为定值．图8－1第8讲│要点热点探究【分析】第(1)问将点的坐标代入题设条件中的向量关系，化简即可得到动点P的轨迹方程；第(2)问求证λ1＋λ2为定值，先将λ1，λ2用坐标量表示出来，再求和得定值．【解答】(1)方法一：以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为...
