第二节等差数列考纲点击1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.热点提示1.以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查“方程思想”.2.以选择题、填空题的形式考查等差数列的性质.3.数列与函数交汇是解答题综合考查的热点.1．等差数列的定义如果一个数列从项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的，通常用d表示，其符号语言为：(n≥2，d为常数)．2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，则其通项公式为.第2同一个常数an－an－1＝dan＝a1＋(n－1)d.公差已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？提示：能，an=am+(n-m)d.3．等差中项如果三个数a，A，b成，则A叫做a和b的等差中项，且有A＝.4．等差数列的前n项和公式5．等差数列的常用性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n、m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝，特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝.a＋b2Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)2d.等差数列(n－m)dap＋aq2ap(3)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为.(4)数列Sm，S2m－Sm，，…也是等差数列．(5)S2n－1＝.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝若n为奇数，则S奇－S偶＝(中间项)，(7)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．n2d,S奇S偶＝an2an2＋1S奇S偶＝n＋1n－1.kdS3m－S2m(2n－1)an等差数列a中1．已知数列{an}中，a1＝1，1an＋1＝1an＋13，则a10等于()A.15B.14C.16D.以上都不对【答案】B【解析】由a1＝1，1an＋1＝1an＋13得1an为等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)·13＝13n＋23，∴1a10＝103＋23＝4，∴a10＝14.2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．5B．4C．3D．2【解析】方法一：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30①S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15②①－②＝15＝5d，∴d＝3.方法二： n＝10，∴S偶－S奇＝d＝5d＝15，∴d＝3.【答案】C1023．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是()A．d＞B．d＜3C.≤d＜3D.＜d≤3【解析】依题意，解得＜d≤3.【答案】D838383，a10＞0a9≤0，∴－24＋9d＞0－24＋8d≤0834．已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且的值为______．【解析】 {an}，{bn}均为等差数列，【答案】anbn＝3n－95n－3(n∈N*)，则S29T29∴S29T29＝29a1529b15＝a15b15＝3×15－95×15－3＝3672＝12.125．已知等差数列{an}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，则a59＋a60＝______.【解析】 a19＋a20＝a9＋10d＋a10＋10d＝a9＋a10＋20d，∴20d＝b－a，∴d＝，而a59＋a60＝a9＋50d＋a10＋50d＝a9＋a10＋100d＝a＋5(b－a)＝5b－4a.【答案】5b－4ab－a20等差数列的判定已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.12(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求an的表达式．【思路点拨】(1)Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0→1Sn与1Sn－1的关系→结论(2)由1Sn的关系式→Sn的关系式→an【自主探究】(1)等式两边同除以Sn·Sn－1得，1Sn－1－1Sn＋2＝0，即1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)，∴1Sn是以1S1＝1a1＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1Sn＝1S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝12n，当n≥2时，an＝－2Sn·Sn－1＝－12n(n－1)，又 a1＝12，不适合上式，故an＝12(n＝1)－12n(n－1)(n≥2)【方法点评】1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A、B是常数)，则{an}为等差数列．1．已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(p、q为常数)，...
