•●基础知识•一、正弦定理•1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.(R为外接圆半径)•2．正弦定理的三种变化•(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；•(3)abc＝sinAsinBsinC.•二、余弦定理•1．余弦定理：•三角形任何一边的平方等于减去的两倍．•即：a2＝；•b2＝；•c2＝；其他两边平方的和这两边与它们夹角的余弦的积b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC•2．余弦定理的变式•cosA＝；•cosB＝；•cosC＝.•三、三角形面积公式•常用的三角形面积公式有：S△＝aha(ha表示a边上的高)；•S△＝absinC＝＝•S△＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．•四、三角形中的边角关系•1．内角和定理：.•2．三角形中任意两边之和，任意两边之差．•3．边角不等关系：A＞B⇔⇔；•A＜B⇔⇔.A＋B＋C＝π大于第三边小于第三边a＞bsinA＞sinBa＜bsinA＜sinB•●易错知识•一、不讨论造成失误•1．在△ABC中，已知a＝xcm，b＝2cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的范围是________．•2．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．•答案：2＜a＜8•二、正余弦定理应用失误•3．在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝BC＝a，则的最大值为________．•三、不注意角的范围易出错•4．判断下列三角形的形状•(1)sin2A＝sin2B•(2)cos2A＝cos2B•(3)tan2A＝tan2B•(4)sinA＝cosB•你一定会出错！不信试一试．•答案：(1)A＝B或A＋B＝90°•等腰或直角三角形•(2)A＝B等腰三角形•(3)A＝B或|A－B|＝90°•等腰或钝角三角形•(4)A＋B＝90°或A－B＝90°•直角或钝角三角形．•●回归教材•1．(教材P1443题改编)已知△ABC中，a＝•B＝60°，那么角A等于()•A．135°B．90°•C．45°D．30°•答案：C•2．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()•答案：A•3．在△ABC中，下列等式总能成立的是()•A．acosC＝ccosAB．bsinC＝csinA•C．absinC＝bcsinBD．asinC＝csinA•解析：由正弦定理知⇒asinC＝csinA，故选D.•答案：D•4．(教材P1636题改编)在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()•A．等腰直角三角形B．直角三角形•C．等腰三角形D．等边三角形•解析：由题设知sin(A＋B)＋sin(A－B)＝sinC，且A＋B＋C＝180°，所以sin(A－B)＝0.故A＝B.故选C.•答案：C•5．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么a2－ac＋c2－b2的值()•A．大于0B．小于0•C．等于0D．不确定•∴a2＋c2－ac－b2＝0.故选C.•答案：C•【例1】(2006·全国Ⅱ)已知△ABC中，∠B＝45°，AC•(1)求BC边的长；•(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．•[分析]解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理求B时，应对解的个数进行讨论；已知a,b,A,求c时,除用正弦定理外，也可用余弦定理a2＝b2＋c2－2abcosA求解．•sinA＝sin(180°－45°－C)•由正弦定理知•(2009·全国Ⅰ，17)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.•解析：由余弦定理得•a2－c2＝b2－2bccosA.•又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①•又sinAcosC＝3cosAsinC，•sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，•sin(A＋C)＝4cosAsinC，•sinB＝4sinCcosA.•由正弦定理得sinB＝sinC，•故b＝4ccosA.②•由①、②解得b＝4.•【例2】在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断三角形的形状．•[分析]利用正、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．•[解答]方法一：•由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]•∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.•由正弦定理得•sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.即sin2A·sinAsinB＝sin2B·sinAsinB.• 0
