立体几何失分点23对线面关系定理理解不准致误例1已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：(1)若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；(2)若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；(3)若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；(4)若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β.其中正确的命题序号是________．错解(2)(3)(4)找准失分点(3)是错误的．失分原因与防范措施本题失分原因：定理、性质、记忆不准确，错用、乱用.防范失误的措施：一是对错误的要逐个寻找反例作出否定，对正确的要逐个进行逻辑证明；二是结合模型作出判断，但要注意定理应用准确，考虑周全.正解(1)是错误的．如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′.(2)正确．实质上是两平面平行的性质定理．(3)是错误的．在上面的正方体中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但与B′D′垂直．这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线．(4)正确．利用线面平行的判定定理即可．故填：(2)(4)．变式训练1已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析①有直线l⊂α的可能；②中可以过直线l作第三个平面与平面β相交于直线m，根据线面平行的性质定理，知m∥l，又l⊥α，根据线面垂直的性质定理，得m⊥α，再根据面面垂直的判定定理，得α⊥β，故②正确；③中包含两个点在平面两侧的情况；④在平面α内作与α和β交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质定理，得m⊥β，再过直线m作平面δ，这个平面与平面γ相交于直线n，根据面面垂直的性质定理，知m∥n，根据线面垂直的性质定理，知n⊥β，再根据面面垂直的判定定理，知γ⊥β，故④正确．故填②④.答案②④失分点24线面位置关系定理使用不当致误例2在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．求证：(1)EF∥平面ABC1D1；(2)EF⊥B1C.错解(1)连接BD1， E、F分别为DD1、DB的中点．∴EF∥D1B，∴EF∥平面ABC1D1.(2)AC⊥BD，又AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1，∴EF⊥AC.找准失分点(1)由EF∥BD1得EF∥平面ABC1D1时，缺少EF⊄平面ABC1D1的条件．(2)思路不清．失分原因与防范措施本题失分原因主要有两点：一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由EF∥D1B就直接得出EF∥平面ABC1D1；二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第（2）问的证明，缺乏转化的思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误.防范失误的措施：证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第（2）问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上），通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的.解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.正解(1)连接BD1，如图所示，在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EF∥D1BD1B⊂平面ABC1D1EF⊄平面ABC1D1⇒EF∥平面ABC1D1.(2)ABCD－A1B1C1D1为正方体⇒AB⊥面BCC1B1⇒B1C⊥ABB1C⊥BC1AB，BC1⊂平面ABC1D1AB∩BC1＝B⇒B1C⊥平面ABC1D1BD1⊂平面ABC1D1⇒B1C⊥BD1EF∥BD1⇒EF⊥B1C.变式训练2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2.(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(2)求证：CE∥平面PAB.证明(1) PA＝CA＝2AB，F为PC的中点，∴AF⊥PC， PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC. E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，则EF⊥...
