第4讲平面向量应用举例知识梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔.x1y2－x2y1＝0(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．x1x2＋y1y2＝0a·b|a||b|2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，由向量平行或垂直等条件可以得到关于未知数的关系式，在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．辨析感悟1．向量与其他数学知识的交汇(1)已知△ABC中，BC边最长，AB→＝a，AC→＝b，且a·b＞0，则△ABC的形状为钝角三角形．(×)(2)在四边形ABCD中，AB→＝DC→，且AC→·BD→＝0，则四边形ABCD是矩形．(×)(3)(2014·贵州调研改编)在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.(√)2．平面向量在物理中的应用(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为2π3，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2大小为19.(√)(5)已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为2.(√)[感悟·提升]1．一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．2．两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.考点一向量在平面几何中的应用【例1】(1)(2013·课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________.(2)(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE→＝1，则AB的长为________．审题路线(1)法一：把向量AE→与BD→分别用基底AD→，AB→表示．法二：建立平面直角坐标系⇒求向量AE→，BD→的坐标．(2)把向量AC→与BE→分别用基底AB→，AD→表示⇒利用AC→·BE→＝1整理⇒建立关于|AB→|的一元二次方程⇒解得|AB→|.解析(1)法一AE→·BD→＝AD→＋12AB→·(AD→－AB→)＝AD→2－12AB→2＝22－12×22＝2.法二以A为原点建立平面直角坐标系(如图)．则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)．∴AE→＝(1,2)，BD→＝(－2,2)．从而AE→·BD→＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.(2)由题意可知，AC→＝AB→＋AD→，BE→＝－12AB→＋AD→.因为AC→·BE→＝1，所以(AB→＋AD→)·－12AB→＋AD→＝1，即AD→2＋12AB→·AD→－12AB→2＝1.①因为|AD→|＝1，∠BAD＝60°，所以AB→·AD→＝12|AB→|，因此①式可化为1＋14|AB→|－12|AB→|2＝1，解得|AB→|＝0(舍去)或12，所以AB的长为12.答案(1)2(2)12规律方法用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．【训练1】(1)(2014·杭州质检)在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则AC→·AE→＝________.(2)在△ABC所在平面上有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PAB与△ABC的面积之比值是________．解析(1)建立如图平面直角坐标系，则A－32，0，C32，0，B...
