第5讲不等式感悟高考明确考向(2010·山东)若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析 a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x>0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可． x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5知0<1u≤15，∴a≥15.15，＋∞考题分析本题以不等式恒成立为背景考查了均值不等式、二次不等式恒成立等问题．若将问题转化为求xx2＋3x＋1的最大值，可作如下变形：xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤15；若将问题转化为：ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x恒成立，则利用二次不等式恒成立解决．体现了转化与化归的数学思想方法．易错提醒(1)忽视不等号方向的变化，易错答为：(－∞，15]．(2)在利用均值不等式时，要注意验证正、定、等．(3)在研究ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x>0恒成立时，易忽略对对称轴x＝－3a－12a<0的约束．主干知识梳理1．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b
b，b>c⇒a>c.(3)加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c.(4)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc.a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|x>x2或x0)的解集{x|x10(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；②变形⇒fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(2)简单指数不等式的解法①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；②当0ag(x)⇔f(x)1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；②当0logag(x)⇔f(x)0，g(x)>0.4．几个重要不等式(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．(2)a2＋b2≥2ab(a∈R)．(3)a＋b2≥ab(a>0，b>0)．(4)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．(5)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)．5．不等式的证明基础(1)不等式定义：a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a0，b>0)．热点分类突破题型一比较大小与不等式正误的判断例1(1)设a、b是非零实数，若a0，或用特殊值法．(2)利用绝对值不等式的性质．(2)由绝对值不等式的性质：若(a＋b)(a－b)≥0，则|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|≤2.若(a＋b)(a－b)<0，则|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|≤2.综上，得|a＋b|＋|a－b|≤2.解析(1)方法一 a2b2>0且ab2，故A不正确；令a＝1，b＝2，符合aba2，ba>ab，故B、D不正确，故选C.答案（1）C（2）|a＋b|＋|a－b|≤2探究提高(1)判断不等式的正误，常利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法等．(2)比较大小常利用：①函数的单调性法；②图象法；③不等式的性质或基本不等式法；④作差法；⑤特殊值法；⑥特别强调|a±b|≤|a|＋|b|等号成立的充要条件是近年高考的新视角．变式训练1(1)(2009·浙江)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设a＋b<0，且a>0，则()A．a2<－ab
