第16讲圆锥曲线的定义、方程与性质第第1616讲圆锥曲线的定义、讲圆锥曲线的定义、方程与性质方程与性质主干知识整合第16讲│主干知识整合1．椭圆(1)椭圆的定义；(2)两种标准方程：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，焦点在x轴上；y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，焦点在y轴上；(3)椭圆方程的一般形式：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，其焦点位置有如下规律，当mn时，焦点在y轴上；(4)椭圆的简单几何性质．第16讲│主干知识整合2．双曲线(1)双曲线的定义；(2)两种标准方程：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，焦点在x轴上；y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，焦点在y轴上；(3)双曲线方程的一般形式：mx2＋ny2＝1(mn<0)，其焦点位置有如下规律：当m>0，n<0时，焦点在x轴上；当m<0，n>0时，焦点在y轴上；(4)双曲线的简单几何性质．第16讲│主干知识整合3．抛物线(1)抛物线的定义；(2)抛物线的标准方程；(3)抛物线方程的一般形式：焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2＝λx(λ≠0)表示；焦点在y轴上的抛物线标准方程可以用x2＝λy(λ≠0)表示；(4)抛物线的简单几何性质．要点热点探究第16讲│要点热点探究►探究点一圆锥曲线的定义与标准方程例1[2011·山东卷]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1第16讲│要点热点探究A【解析】圆方程化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心C(3,0)，r＝2，所以双曲线焦点F(3,0)，即c＝3，渐近线为ay±bx＝0，由圆心到渐近线的距离为2得|±3b|a2＋b2＝2，又a2＋b2＝9，所以|b|＝2，即b2＝4，a2＝c2－b2＝9－4＝5，所以所求双曲线方程为x25－y24＝1.【点评】求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法，就是根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组，通过解方程或者方程组求得系数值．第16讲│要点热点探究(1)已知点P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为()A.58B.45C.43D.34(2)[2011·课标全国卷]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．第16讲│要点热点探究(1)B(2)x216＋y28＝1【解析】(1)根据三角形面积公式把S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2转化为焦点三角形边之间的关系．根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，得|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，即2a＝2λc，则λ＝ac＝45.注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距离相等．(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．因为离心率为22，所以22＝1－b2a2，解得b2a2＝12，即a2＝2b2.又△ABF2的周长为||AB＋||AF2＋||BF2＝||AF1＋||BF1＋||BF2＋||AF2＝(||AF1＋||AF2)＋(||BF1＋||BF2)＝2a＋2a＝4a，所以4a＝16，a＝4，所以b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.第16讲│要点热点探究►探究点二圆锥曲线的几何性质例2已知双曲线x2a2－y2b2＝1左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．【分析】只要能够得到一个关于a，b，c的方程，通过这个方程即可求出ba的值．y＝±2x【解析】根据已知|PF1|＝2·b2a且|PF2|＝b2a，故2·b2a－b2a＝2a，所以b2a2＝2，ba＝2.【点评】在焦点三角形中的问题要注意使用圆锥曲线的定义．第16讲│要点热点探究[2011·浙江卷]已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2C【解析】由双曲线x2－y24＝1知渐近线方程为y＝±2x，又 椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b2x2＋b2＋5y2＝b2＋5b2，联立直线与椭圆方程消y得，x2＝b2＋5b25b2＋20.又 C1将线段AB三等分，∴1＋22×2b2＋5b25b2＋20＝2a3，解之得b2＝12.第16讲│要点热点探究►探究点三直...
