知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练第5讲平面向量的坐标表示及数量积知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理1
平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=ඥ𝑥12+𝑦12
(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标
一般地,设A(x1,y1),B(x2,y2),则𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(x2-x1,y2-y1)
平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0
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平面向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0
(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
(3)坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2
平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律)
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律)
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
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平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=
几何表示坐标表示模|a|=ξ𝑎·𝑎|a|=ඥ𝑥12+𝑦12夹角cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|cosθ=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2ඥ𝑥12+𝑦12·ඥ𝑥22+𝑦22a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关
