知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练第5讲平面向量的坐标表示及数量积知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理1.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=ඥ𝑥12+𝑦12.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.一般地,设A(x1,y1),B(x2,y2),则𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(x2-x1,y2-y1).2.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理3.平面向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.(3)坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.4.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理5.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=
.几何表示坐标表示模|a|=ξ𝑎·𝑎|a|=ඥ𝑥12+𝑦12夹角cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|cosθ=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2ඥ𝑥12+𝑦12·ඥ𝑥22+𝑦22a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤ඥ𝑥12+𝑦12·ඥ𝑥22+𝑦22知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型一平面向量的坐标表示【例1】如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若𝐴𝐶=λ𝐴𝑀+μ𝐵𝐷,则λ+μ=()A.43B.53C.158D.2(2)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【解析】(1)设正方形的边长为2,以A为原点建立平面直角坐标系,则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2,2),𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ=(-2,2),依题意,𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=λ𝐴𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ+μ𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ,即൜2𝜆-2𝜇=2,𝜆+2𝜇=2,解得λ=43,μ=13,λ+μ=53.(2)法一:由O,P,B三点共线,可设𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ=λ𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(4λ,4λ),则𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ−𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(4λ-4,4λ).又 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝐶ሬሬሬሬሬԦ−𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(-2,6),由𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ与𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ=34OB=(3,3),所以P点的坐标为(3,3).法二:设点P(x,y),则𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ=(x,y), 𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(4,4),且𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ与𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ共线,∴𝑥4=𝑦4,即x=y.又 𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ=(x-4,y),𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(-2,6),且𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ与𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ共线,∴(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,∴P点的坐标为(3,3).【答案】(1)B(2)(3,3)知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【规律方法】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.(2)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式变式训练一1.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c等于()A.ቀ1,83ቁB.ቀ-133,83ቁC.ቀ133,43ቁD.ቀ-133,-43ቁD【解析】由已知3c=-a+2b=(-5,2)+(-8,-6)=(-13,-4).所以c=ቀ-133,-43ቁ.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式2.(2019·沈阳模拟)已知平面向量a=(1,m),b=(-3,1)且(2a+b)∥b,则实数m的值为()A.13B.-13C.23D.-23B2a+b=(-1,2m+1),由题意知-3(2m+1)=-1,解得m=-13,故选B.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式3.平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c>0),且|𝑂𝐶ሬሬሬሬሬԦ|=2,若𝑂𝐶ሬሬሬሬሬԦ...
