第2讲两条直线的位置关系知识梳理1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔.特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为.k1=k2平行(2)两条直线垂直①如果两条直线l1、l2的斜率存在,设为k1、k2,则l1⊥l2⇔.②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1与l2的关系为.k1k2=-1垂直2.两直线相交交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的解一一对应.相交⇔方程组有,交点坐标就是方程组的解;平行⇔方程组;重合⇔方程组有无数个解.唯一解无解3.三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=.(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为d=.x1-x22+y1-y22x2+y2|Ax0+By0+C|A2+B2|C1-C2|A2+B2辨析感悟1.对两条直线平行与垂直的理解(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.(×)(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(×)(3)(2013·天津卷改编)已知过点P(2,2)斜率为-12的直线且与直线ax-y+1=0垂直,则a=2.(√)2.对距离公式的理解(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(√)(6)(教材习题改编)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0.(×)(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2.(×)[感悟·提升]三个防范一是在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑.如(2)中忽视了斜率不存在的情况;二是求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应化为一般式,如(4);三是求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式,且x,y的系数对应相同,如(6).考点一两条直线平行与垂直【例1】已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)l1⊥l2时,求a的值.解(1)法一当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),l1∥l2⇔-a2=11-a,-3≠-a+1,解得a=-1,综上可知,a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.法二由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0,由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,∴l1∥l2⇔aa-1-1×2=0,aa2-1-1×6≠0,⇔a2-a-2=0,aa2-1≠6⇒a=-1,故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.(2)法一当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2;当a≠1且a≠0时,l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),由-a2·11-a=-1⇒a=23.法二由A1A2+B1B2=0得a+2(a-1)=0⇒a=23.规律方法(1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】(2014·长沙模拟)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为________.答案-10解析 l1∥l2,∴kAB=4-mm+2=-2,解得m=-8,又 l2⊥l3,∴-1n×(-2)=-1,解得n=-2,∴m+n=-10.考点二两条直线的交点问题【例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.解法一先解方程组3x+2y-1=0,5x+2y+1=0,得l1,l2的交点坐标为(-1,2),再由l3的斜率35求出l的斜率为-53,于是由直线的点斜式方程求出l:y-2=-53(x+1)...