第2讲两条直线的位置关系知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为．k1＝k2平行(2)两条直线垂直①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔.②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为．k1k2＝－1垂直2．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组；重合⇔方程组有无数个解．唯一解无解3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.x1－x22＋y1－y22x2＋y2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2辨析感悟1．对两条直线平行与垂直的理解(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)(2013·天津卷改编)已知过点P(2,2)斜率为－12的直线且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝2.(√)2．对距离公式的理解(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(6)(教材习题改编)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(×)(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.(×)[感悟·提升]三个防范一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．如(2)中忽视了斜率不存在的情况；二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同，如(6).考点一两条直线平行与垂直【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．解(1)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，l1∥l2⇔－a2＝11－a，－3≠－a＋1，解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔aa－1－1×2＝0，aa2－1－1×6≠0，⇔a2－a－2＝0，aa2－1≠6⇒a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．(2)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由－a2·11－a＝－1⇒a＝23.法二由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0⇒a＝23.规律方法(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【训练1】(2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为________．答案－10解析 l1∥l2，∴kAB＝4－mm＋2＝－2，解得m＝－8，又 l2⊥l3，∴－1n×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.考点二两条直线的交点问题【例2】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．解法一先解方程组3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，再由l3的斜率35求出l的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－53(x＋1)...
