平面解析几何综合题解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容．高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的18%.近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用；考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识；二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力．高考解析几何综合试题主要考查解决直线与圆锥曲线位置关系、轨迹方程和探索型等问题的思想方法．为此，我们应掌握圆锥曲线的定义、性质、明确解决直线与圆锥曲线位置关系的思想方法，把握曲线轨迹方程的各种求法，沟通知识间的横纵联系，借助方程理论、不等式性质、向量工具和数形结合、化归转化等思想方法，就能从容应对高考．解决直线和圆的问题，首先要明确确定直线和圆的几何要素；其次要掌握好直线方程和各种形式及其适用范围、圆的标准方程和一般方程；第三要掌握好直线与直线的位置关系、点到直线的距离、直线与圆、圆与圆的位置关系；最后要充分重视平面几何知识在解决直线与圆问题中的作用．直线与圆的综合问题已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解】假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OA⊥OB.设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则y1x1·y2x2＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.①由y＝x＋b，x2＋y2－2x＋4y－4＝0.消去y得，2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝12(b2＋4b－4)，②y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝12(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝12(b2＋2b－4)．③把②③式代入①式，得b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立．故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.最值与范围问题最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性及基本不等式来解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义进行解决．设椭圆M：x2a2＋y22＝1(a>2)的右焦点为F1，直线l：x＝a2a2－2与x轴交于点A，若OF1→＋2AF1→＝0(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求PE→·PF→的最大值．【解】(1)由题设知，A(a2a2－2，0)，F1(a2－2，0)，由OF1→＋2AF1→＝0，得a2－2＝2(a2a2－2－a2－2)，解得a2＝6.所以椭圆M的方程为x26＋y22＝1.(2)设圆N：x2＋(y－2)2＝1的圆心为N，则PE→·PF→＝(NE→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NF→－NP→)·(NF→－NP→)＝NP→2－NF→2＝NP→2－1.从而将求PE→·PF→的最大值转化为求NP→2的最大值．因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，所以x206＋y202＝1，即x20＝6－3y20.因为点N(0,2)，所以NP→2＝x20＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.因为y0∈[－2，2]，所以当y0＝－1时，NP→2取得最大值12.所以PE→·PF→的最大值为11.定值、定点问题定值问题所要解决的一些量的值与变量无关，基本的求解方法是：先用变量表示这些量，然后再通过推导和已知条件，最后导出这些量与变量没有关系．即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，然后才是定值问题．如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．【解】(1)依题意，|OB|＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝43，y＝|OB|cos30°＝12.因为点B(4...
