1/4一元积分学的几何应用（公共）一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积{(,),()()}[()()]baXDxyaxbgxyfxSfxgxdx型区域的面积为;(),(),()()bayfxygxxaxbaSfxgxdx由曲线与直线所围图型的面积为;{(,)()(),}[()()]dcYDxygyxfycydSfygydy型区域的面积为;(),(),()()dcxfyxgyycydcSfygydy由曲线与直线所围图型的面积为;221{(,),()()}[()()]2DgfSfgd型区域的面积为;2、旋转体体积22{(,),0()()}[()()]bxaXDxyaxbgxyfxxVfxgxdx型区域绕轴旋转一周的=;22()0,()0,,()()bxayfxygxxaxbaxVfxgxdx所围图形绕轴旋转一周的=;22{(,)0()(),}[()()]dycYDxygyxfycydyVfygydy型区域绕轴旋转一周的=;22()0,()0,()()dycxfyxgyycydcyVfygydy,所围图形绕轴旋转一周的=;{(,)0,()()}2[()()]byaXDxyaxbgxyfxyVxfxgxdx型区域绕轴旋转一周的=;(),(),,02()()byayfxygxxaxbayVxfxgxdx所围图形绕轴旋转一周生成的=;{(,)()(),0}2[()()]dxcYDxygyxfycydxVyfygydy型区域绕轴旋转一周的=;(),(),02()()dxcxfyxgyycydcxVyfygydy,所围图形绕轴旋转一周的=;22{(,),()()}{[()][()]}baDxyaxbkgxyfxykVfxkgxkdx绕旋转一周的=;22(),(),,[()][()]bayfxkygxkxaxbaykVfxkgxkdx所围图形绕旋转一周的=;{(,),()()}2()[()()]baDxykaxbgxyfxxkVxkfxgxdx绕旋转一周的=;注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示,xy3、曲线的弧长（数三不要求）22:(),(),[,]'()'()btLaLxftygttabLdsftgtdt的弧长=;22:(),[,]()'()LLfLdsffd的弧长=;4、旋转体的侧面积（数三不要求）2:()0,[,]2()2()1'()bxLaLyfxxabxSfxdsfxfxdx绕轴旋转一周的侧面积=;()(){(,),0()()}2()()xyfxygxDxyaxbgxyfxxSfxdsgxds绕轴旋转一周的=222[()1'()()1'()]bafxfxgxgxdx二、典型例题2/4（一）一元积分学的几何应用例1、如图，连续函数()yfx在3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在2,0,0,2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()dxFxftt，则有（C）（A）3(3)(2)4FF(B)5(3)(2)4FF（C）3(3)(2)4FF（D）5(3)(2)4FF提示：(3)3(2)43(2)4FFF，故选（C）.例2、求由曲线23xy及22xy在上半平面围成图形的面积A及周长S.解：122302[2]Axxdx，或12302[4()](5+2)10Axxdx12021(32)22Sydy2(13138)2722.例3、设D是由曲线3xy，直线ax)0(a及x轴所转成的平面图形，yxVV,分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若yxVV10，则77a．提示：253035axVydxa，7302()67ayVxfxdxa．例4、求曲线)cos1(4r和直线0,2所围成图形绕极轴旋转一周的xV.解：8022202sincosxVydxrdrcos1220(1)(1)(12)160ttttdt.例5、23()1xfxtdt位于第一象限的图像与x轴、y轴所围区域的面积为529．提示：面积4444320000()[()]'()12Afxdxxfxxfxdxxxdx．例6、曲线0tan(04)xytdtx的弧长sln(12)．提示：44422400001'1tansec[ln(tansec)]sydxxdxxdxxx．例7、过2xy上一点),(2aa做切线，问a为何值时所作切线与抛物线142xxy所围区域的面积最小？解：易得两曲线交点342)2(,342)2(2221aaaxaaax21222324[(41)(2)](243)3xxSxxaxxdxaa韦达定理，易知1a时min43S．例8、设D是位于曲线2(1,0)xayxaax下方、x轴上方的无界区域，（1）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积()Va;（2）当a为何值时，()Va最小?提示：(1)22200()()lnxaVayxdxxadxaa(2)3()2(ln1)lnVaaaa2()().aeVaVee时取最小值3/4三、课后练习（一）一元积分学的几何应用1（A）、曲线(1)(2)yxxx与x轴所围成图形的面积可表为（C）（A）dxxxx20)2)(1(（B）dxxxxdxxxx2110)2)(1()2)(1(（C）dxxxxdxxxx2110)2)(1()2)(1(（D）dxxxx20)2)(1(2（A）、设()()gxfxm在区间[,]ab上连续，则曲线(),()fxgx夹在[,]ab之间的平面图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为（B）Adxxgxfxgxfmba)]()([)]()(2[Bdxxgxfxgxfmba)]()([)]()(2[Cdxxgxfxgxfmba)]()([)]()([Ddxxgxfxgxfmba)]()([)]()([3（A）、如图，函数()fx在区间[0,]a上有连续的导数，则定积分0'()axfxdx等于（C）（A）曲边梯形ABOD面积（B）梯形ABOD面积（C）曲边三角形ACD面积（D）三角形ACD面积4（A）、由曲线4yx和直线yx及4yx在第一象限中所围图形的面积为4ln2．5（A）、假设曲线)1...
