高中数学 第2章232第一课时等比数列的前n项和课件 新人教B版必修5 课件VIP免费

2.3.2等比数列的前n项和学习目标1．掌握等比数列的前n项和公式及推导方法．2．能在具体情境中构造等比数列，求和或解决相关问题．第一课时课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．若数列{an}满足_________________，则{an}是等比数列．2．等比数列的通项公式为___________.an＋1an＝q(常数)n∈N＋an＝a1·qn－1知新益能1．等比数列的前n项和公式(1)公式：(2)需注意的几点：①Sn＝a11－qn1－q(q≠1)的变形公式Sn＝_______.a1－anq1－qna1q＝1②在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意_______，都可求出其余_______．③在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意讨论____________，尤其是含有字母参数的等比数列的求和．三个量两个量公比q是否为1思考感悟在对等比数列求和时为什么要讨论q是否为1?提示：当q＝1时，不能用公式Sn＝a11－qn1－q来求和．2．前n项和的变形应用(1)Sn＋m＝Sm＋qmSn(q为公比)．(2)Sn1－qn＝a11－q(1－qn≠0)．3．错位相减法由Sn＝a1＋a2＋…＋an，则qSn＝a1q＋a2q＋…＋an－1q＋anq，两式相减即(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1q)＋…＋(an－an－1q)－anq.这便是错位相减法，它特别适用求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项的和．课堂互动讲练等比数列基本量的运算例例11在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求q.【分析】解答本题可根据条件利用方程根与系数的关系求出a1和an，然后再求所要求的量.【解】因为a2·an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而a1＝2an＝64或an＝2，a1＝64.又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q＝2n＝6或q＝12n＝6.所以q为2或12.【点评】运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或整体代入的方法进行消元.自我挑战1在等比数列中．(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5；(3)若q＝2，S4＝1，求S8.解：(1)由Sn＝a11－qn1－q，an＝a1qn－1以及已知条件得189＝a11－2n1－2，96＝a1·2n－1，∴a1·2n＝192，∴2n＝192a1，∴189＝a1(2n－1)＝a1(192a1－1)，∴a1＝3.又 2n－1＝963＝32，∴n＝6.(2)a4＋a6＝q3(a1＋a3)＝54，a1＋a3＝10，∴q3＝18，∴q＝12，由a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，得a1＝101＋q2＝8，∴a4＝a1q3＝8×(12)3＝1，S5＝81－1251－12＝312.(3)由S4＝a11－241－2＝1，得a1＝115，∴S8＝1151－281－2＝17.错位相减法求和例例22求和：Sn＝1＋322＋423＋…＋n＋12n.【分析】观察到分母是等比数列，分子是等差数列，只要将等式的两边同时乘以公比12，问题便顺利得解．【解】因为Sn＝1＋322＋423＋…＋n＋12n，①①式两边同时乘以12得，12Sn＝222＋323＋424＋…＋n＋12n＋1，②①－②得12Sn＝1＋(322－222)＋(423－323)＋…＋(n＋12n－n2n)－n＋12n＋1＝1＋122＋123＋124＋…＋12n－n＋12n＋1＝12×1－12n1－12＋12－n＋12n＋1＝32－12n－n＋12n＋1，∴Sn＝3－12n－1－n＋12n.【点评】错位相减法是很常用的解法，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意，将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．解：当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，则Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2.当a≠1时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，②自我挑战2求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1(a≠0)的前n项和．由①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，∴(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·a1－an－11－a＝1－(2n－1)an＋2a－an1－a.又 1－a≠0，∴Sn＝1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2.综上可知：当a＝1时，Sn＝n2；当a≠1时，Sn＝1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2.设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1,2，…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－32an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，...