第十二章不等式选讲第77讲不等式证明的基本方法【学习目标】1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．2．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单的不等式．【基础检测】1．若a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝ab＋cd，Q＝ma＋nc·bm＋dn，则有()A．P≥QB．P≤QC．P＞QD．P，Q大小不确定【解析】Q＝ab＋cd＋mnad＋nmbc≥（ab）2＋（cd）2＋2abcd＝ab＋cd＝P.Ｂ2．若q>0且q≠1，m，n∈N*，则1＋qm＋n与qm＋qn的大小关系是()A．1＋qm＋n>qm＋qnB．1＋qm＋n1时，qn>1，qm>1.∴(qn－1)(qm－1)>0，∴1＋qm＋n>qm＋qn，故选A.Ａ3．若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y≥－2，则()A．x＞0，y＞0B．x<0，y<0C．x＞0，y<0D．x<0，y＞0【解析】x，y异号时，显然与xy＞1矛盾，所以可排除C、D.假设x<0，y<0，则x<1y.∴x＋yb⇔a－b>0，ab，只要证明____________即可，这种方法称为作差比较法．(2)作商比较法：由a＞b＞0⇔ab＞1且a>0，b＞0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明_________即可，这种方法称为作商比较法．ａ－ｂ＞０1ab2．综合法证明不等式从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．3．分析法证明不等式证明命题时，我们还常常从要证的_______出发，逐步寻求__________________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(_______、_______、________、____________________等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做__________，这是一种执果索因的思考和证明方法．结论使它成立的充分条件定义公理性质或已证明的定理分析法4．反证法证明不等式先假设要证的命题________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的_________，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明假设__________，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．5．放缩法证明不等式证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_______________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．不成立推理矛盾不正确放大或缩小6．数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明与自然数有关的不等式．其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可.第二步证明时要一凑假设，二凑结论．【解析】因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋3ac≥63.所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，原不等式等号成立，故当且仅当a＝b＝c＝314时，原不等式等号成立．一、综合法证明不等式例1已知a，b，c为正实数，求证：a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥63，并说明a，b，c为何值时等号成立．二、分析法证明不等式例2已知a>0，证明：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.【解析】要证a2＋1a2－2≥a＋1a...
