2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标重点难点1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的几何性质.2.掌握双曲线的渐近线及离心率的应用.3.能够运用双曲线的性质解决简单问题.重点:双曲线的几何性质及其初步应用.难点:双曲线的渐近线、离心率的应用.1.范围(1)双曲线2222xyab=1(a>0,b>0)在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内;(2)双曲线2222yxab=1(a>0,b>0)在不等式y≤-a与y≥a所表示的区域内.2.对称性双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形.其对称轴是坐标轴,对称中心是坐标原点,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.3.顶点(1)双曲线与其对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.(2)对于双曲线2222xyab=1(a>0,b>0),它与x轴有两个交点A1(-a,0)和A2(a,0),则A1A2叫做双曲线的实轴,长度等于2a,a叫做双曲线半实轴长;设B1(0,b),B2(0,-b),则线段B1B2叫做双曲线的虚轴,长度等于2b,b叫做双曲线半虚轴长.预习交流1双曲线的简单几何性质与椭圆的有哪些主要不同点?提示:(1)双曲线中|x|逐渐增大时,|y|也无限增大,即双曲线是无限伸展的,而椭圆是一条封闭的曲线;(2)双曲线只有两个顶点,即实轴的两个端点,而椭圆有四个顶点;(3)双曲线的焦点总在实轴上,当实轴长与虚轴长相等时,称为等轴双曲线,椭圆的长轴与短轴不能相等.4.渐近线(1)双曲线2222xyab=1的渐近线方程为y=±bax;双曲线2222yxab=1的渐近线方程为y=±abx.(2)实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x.预习交流2不同的双曲线其渐近线是否一定不同?提示:不同的双曲线可能具有相同的渐近线,例如:双曲线2222xyab=1与2222yxba=1的渐近线就相同,所以具有相同渐近线的双曲线可设为2222xyab=λ(λ≠0,λ∈R).λ>0时,焦点在x轴上,λ<0时,焦点在y轴上.5.离心率双曲线的焦距与实轴长的比ca,叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是e>1.预习交流3双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小?提示:由于e=ca,所以2222bcae1aa,因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线的开口大小.离心率越大,开口越开阔;离心率越小,双曲线开口越扁狭.一、双曲线基本量的计算求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.思路分析:先把方程化成标准方程,确定a,b,c及焦点位置,再研究其几何性质.解:把方程16x2-9y2=-144化为标准方程2222yx43=1.由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3,c=22ab=5;焦点坐标为(0,-5),(0,5);离心率e=c5a4;顶点坐标为(0,-4),(0,4);渐近线方程为y=±43x.双曲线y2-2x2=-8的焦点坐标是,顶点坐标是,离心率等于,渐近线方程是.答案:(±23,0)(±2,0)3y=±2x解析:双曲线方程化为22xy48=1,所以a=2,b=22,焦点在x轴上,c=48=23.故焦点坐标是(±23,0),顶点坐标是(±2,0),离心率e=c3a,渐近线方程是y=±2x.1.根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质,主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点;“四线”——对称轴、渐近线;“两比率”——离心率、渐近线的斜率.2.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关.双曲线的顶点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关,而且与双曲线的实轴位置(x轴、y轴)有关.3.已知双曲线的标准方程确定性质时,一定要弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c,从而确定e.若方程不是标准形式,先化成标准方程,再确定a,b,c的值.二、利用双曲线的性质求标准方程根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)已知双曲线的渐近线方程为y=±12x,焦距为10;(2)已知双曲线的渐近线方程为y=±23x,且过点M9,-12;(3)与椭圆22xy94=1有公共焦点,且离心率e=52.思路分析:根据题设条件确定a,b的关系式,利用解方程的方法求得a,b的值.但焦点位置不明确时,要注意分情况讨论,也可根据双曲线的几何性质,设出双曲线系方程再求解.解:(1)方法一:当焦点在x轴上时,设所求双曲线方程为2222xyab=1.由渐近线方程为y=±12x,得b1a2,2c=10.又c2=a2+b2,得a2=20,b2=5.∴双曲线的标准方程为22xy205=1.同理,当焦点在y轴上时,双曲线的方程为22yx520=1....
