第4讲导数及其应用感悟高考明确考向(2010·北京)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，所以a＋2b＋c－9＝0，16a＋8b＋c－36＝0.(*)(1)当a＝3时，由(*)式得2b＋c－6＝0，8b＋c＋12＝0.解得b＝－3，c＝12.又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．由a>0，Δ＝9(a－1)(a－9)≤0，得1≤a≤9，即a的取值范围是[1,9]．考题分析本题主要考查了函数的导数、函数的解析式以及函数的极值点的概念．考查了换元消元的解题方法以及转化与化归、函数与方程的数学思想方法．题目难度不大，特点鲜明．易错提醒(1)构建不出关于a、b、c的方程组．(2)搞不清“f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点”与“f′(x)≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”的等价关系．(3)易忽视条件a>0的应用．(4)想不到换元方法，消不去b、c.(5)计算错误.主干知识梳理1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈N*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．③[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)－u(x)v′(x)[v(x)]2(v(x)≠0)．(3)复合函数求导复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)．3．函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．(3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．4．定积分的求法及几何性质(1)定积分的求法①定义法：分割—近似代替—作和—取极限；②利用微积分基本定理：先求被积函数f(x)的原函数F(x)，即F′(x)＝f(x)，再计算F(b)－F(a)，即为所求．(2)求定积分的一些技巧①对被积函数要先化简，再求定积分；②求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和；③对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分．(3)定积分的几何性质如果在区间[a，b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃbaf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.热点分类突破题型一导数几何意义的应用例1已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程；(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．思维启迪利用导数的几何意义确定曲线在某点处的切线斜率，进而使问题获解．解(1) y′＝－1x2.又P(1,1)是曲线上的点，∴P是切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P点处的切线方程为y－1＝－(x－1)．即y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上，则可设过该点的切线的切点为A(a，1a)，则该切线斜率为k1＝f′(a)＝－1a2.则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①将Q(1,0)代入方程①得0－...
