第4讲导数及其应用感悟高考明确考向(2010·北京)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，所以a＋2b＋c－9＝0，16a＋8b＋c－36＝0
(*)(1)当a＝3时，由(*)式得2b＋c－6＝0，8b＋c＋12＝0
解得b＝－3，c＝12
又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0
故f(x)＝x3－3x2＋12x
(2)由于a>0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．由a>0，Δ＝9(a－1)(a－9)≤0，得1≤a≤9，即a的取值范围是[1,9]．考题分析本题主要考查了函数的导数、函数的解析式以及函数的极值点的概念．考查了换元消元的解题方法以及转化与化归、函数与方程的数学思想方法．题目难度不大，特点鲜明．易错提醒(1)构建不出关于a、b、c的方程组．(2)搞不清“f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点”与“f′(x)≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”的等价关系．(3)易忽视条件a>0的应用．(4)想不到换元方法，消不去b、c
(5)计算错误
主干知识梳理1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)
