高考数学一轮总复习 8.60 空间角、距离及其求法课件 理 课件VIP专享VIP免费

第60讲空间角、距离及其求法【学习目标】理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及二面角的平面角等概念，能依题设条件选择恰当的方法求解空间角和距离．特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系．【基础检测】1．设集合A，B，C分别表示两异面直线所成的角、平面的斜线与该平面所成的角、二面角的取值构成的集合，则A，B，C的关系是()A．A＝BCB．A⊆B＝CC．ABCD．BAC【解析】由空间角的定义可知A＝0，π2，B＝0，π2，C＝[0，π]，则BAC.故选D.D2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为()A.64B．－64C.104D．－104【解析】取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，建立空间直角坐标系B－xyz，则A32，12，0，D(0，0，1)，则AD→＝－32，－12，1. 平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1C.∴BE→＝32，0，0为平面AA1C1C的一个法向量，∴cos〈AD→，BE→〉＝－64，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，∴sinα＝|cos〈AD→，BE→〉|＝64，故选A.A3．在二面角α－l－β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB＝1，AC＝BD＝2，CD＝5，则二面角α－l－β的余弦值为______．【解析】由已知AB→⊥AC→，AB→⊥BD→，〈AC→，BD→〉为二面角α－l－β.则CD→＝CA→＋AB→＋BD→＝AB→＋BD→－AC→，CD→2＝AB→2＋BD→＋AC→2＋2AB→·BD→－2AB→·AC→－2AC→·BD→＝1＋4＋4－2·AC→·BD→＝5，∴AC→·BD→＝2，又AC→·BD→＝|AC→|·|BD→|cos〈AC→，BD→〉，∴cos〈AC→，BD→〉＝22×2＝12，即二面角α－l－β的余弦值为12.124．已知ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P－AD－C为60°，则点C到平面PAB的距离为________．【解析】易得∠PDC就是二面角P－AD－C的平面角，则△PDC为正三角形，且面PDC与面ABCD垂直，取CD中点为O，AB中点为M，连结OM、PM，过O作OH⊥PM于H点，易证OH⊥平面PAB，那么C到平面PAB的距离即为OH的长，计算得PO＝3，又OM＝2，则PM＝7，那么OH＝PO×OMPM＝22172217|cos〈a，b〉|【知识要点】1．异面直线所成的角及求法(1)平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；(2)向量法：若异面直线a和b的方向向量为a和b，设异面直线a和b所成的角为θ，则cosθ＝____________＝______．|a·b||a||b|02．直线与平面所成的角及求法(1)定义：设l和α分别表示直线与平面．①若l∥α或l⊂α，则称直线l和平面α所成的角为____；②若l⊥α，则称l与α所成的角为____；③若l与α相交，则l与l在α内的射影所成的锐角为直线l与平面α所成的角．(2)取值范围：设θ是直线l与平面α所成的角，则θ的取值范围是________．(3)求法：①定义法：探寻直线l在平面α内的射影(通常由垂直法找射影)，构造直线l与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．②向量法：设l和n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝____________＝_______．π20，π2|cos〈l，n〉||l·n||l|·|n|3．二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．(2)取值范围：规定二面角的取值范围为[0，π]．(3)求法：①定义法：即求作二面角的平面角；②垂面法：即探寻过二面角棱上一点且垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个面的交线所构成的角即为二面角的平面角；③向量法：设二面角α－l－β的两个面α与β的法向量为n1和n2，二面角α－l－β的大小为θ，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，当θ∈0，π2时，cosθ＝|n1·n2||n1|·|n2|；当θ∈π2，π时，cosθ＝－|n1·n2||n1|·|n2|.4．空间距离及求法(1)空间距离的概念①点到平面的距离：自点向平面引垂线，______________的长度．②异面直线间的距...