高三数学一轮复习 第2课时 逆矩阵、特征值与特征向量课件 文 新人教A版选修4-2 课件VIP专享VIP免费

第2课时逆矩阵、特征值与特征向量1.基本概念(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆，且称σ是ρ的逆变换．(2)逆矩阵：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，且称B是A的逆矩阵．(3)特征值及特征向量：设A是一个二阶矩阵．如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝____，那么λ称为A的一个特征值，α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(4)abcd称为二阶行列式，运算结果是一个数值__________.(5)特征多项式：设A＝abcd是一个二阶矩阵，λ∈R，则f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝_____________________称为A的特征多项式．λαad－bcλ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)2．矩阵的逆矩阵的性质(1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．记为A－1.(2)设A，B是二阶矩阵，如果A、B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.(3)二阶矩阵A＝abcd可逆，当且仅当detA＝ad－bc≠0时，A－1＝__________________.ddetA－bdetA－cdetAadetA求逆矩阵1．逆矩阵的求法有两种：一是利用待定系数法．二是利用公式法即当A＝abcd时，有A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.2．若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB)－1＝B－1A－1；若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB＝AC时，有B＝C，即此时矩阵乘法的消去律成立．求矩阵A＝2312的逆矩阵．解析：方法一：设矩阵A的逆矩阵为A－1＝abcd，则由2312abcd＝1001，知2a＋3c＝1，2b＋3d＝0，a＋2c＝0，b＋2d＝1.解之得a＝2，b＝－3，c＝－1，d＝2.∴A－1＝2－3－12.方法二： A＝2312，∴|A|＝4－3＝1，∴A－1＝21－31－1121＝2－3－12.【变式训练】1.判断矩阵M＝2615是否存在逆矩阵，若存在，试求出其逆矩阵．解析： detM＝2615＝2×5－1×6＝4≠0，∴M存在逆矩阵M－1，∴M－1＝54－64－1424＝54－32－1412.二元一次方程组的矩阵解法1．用矩阵方法求解二元一次方程组的关键是求解系数所对应的矩阵的逆矩阵．2．若系数矩阵为abcd，则方程组的解可以表达成xy＝abcd－1ef.用矩阵方法求二元一次方程组3x－2y＝43x＋y＝7的解．解析：已知方程组可以写为3－231xy＝47，令M＝3－231，其行列式为3－231＝3×1－3×(－2)＝9≠0，∴M－1＝1929－3939＝1929－1313.∴xy＝M－147＝1929－131347＝21，即方程组的解为x＝2，y＝1.【变式训练】2.用矩阵方法求二元一次方程组2x－5y＝43x＋y＝6的解．解析：已知方程组可以写为2－531xy＝46，令M＝2－531，其行列式为2－531＝2×1－3×(5)＝17≠0，所以M－1＝117517－317217，所以xy＝M－146＝20，即方程组的解为x＝2，y＝0.矩阵的特征值与特征向量关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A＝abcd，向量α＝xy，若有特征值λ，则abcdxy＝λxy，即λ－a－b－cλ－dxy＝00，所以λ－a－b－cλ－d＝0，即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0.已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并且矩...