第7讲平面向量第第77讲平面向量讲平面向量主干知识整合第7讲│主干知识整合1．平面向量的基本概念2．共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λ·a.如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1或者x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x2x1＝y2y1，即对应坐标的比值相等．3．平面向量基本定理对于任意a，若以不共线的向量e1，e2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a＝λe1＋μe2.第7讲│主干知识整合4．向量的坐标运算a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．5．数量积(1)已知a，b的夹角为〈a，b〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a·b＝|a|·|b|cosθ，其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；(3)两非零向量a，b的夹角公式为cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；(4)|a|2＝a·a.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零．要点热点探究第7讲│要点热点探究例1(1)a，b是不共线的向量，若AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1·λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0(2)[2011·山东卷]设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上►探究点一平面向量的概念及线性运算第7讲│要点热点探究【分析】(1)由于向量AC→，AB→有公共起点，因此三点A，B，C共线只要AC→，AB→共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC→＝λAB→，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消掉λ即得结论；(2)根据各点的坐标以及向量的共线的关系，找出c，d所满足的关系式，再根据各个选项进行分析判断．第7讲│要点热点探究(1)D(2)D【解析】(1)只要AC→，AB→共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC→＝λAB→，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.(2)由新定义知，AC→＝λAB→，即(c,0)＝λ(1,0)，∴λ＝c.同理AD→＝μAB→，即(d,0)＝μ(1,0)，∴μ＝d，又1λ＋1μ＝2，∴1c＋1d＝2.若点C为线段AB中点，则1λ＝2，与1λ＋1μ＝2矛盾，所以C不为线段AB中点，同理D不为线段AB中点．若点C，D同在线段AB上，则1c＋1d>2，∴只能一个点在线段AB上，另一个点在线段AB的延长线上．第7讲│要点热点探究【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a，b不共线，那么λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA→＝xOB→＋yOC→，则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1.第7讲│要点热点探究(1)如图7－1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→(m，n>0)，则1m＋4n的最小值为()图7－1A．2B．4C.92D．9(2)[2011·湖南卷]设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．第7讲│要点热点探究(1)C(2)(－4，－2)【解析】(1)MO→＝AO→－AM→＝AB→＋AC→2－1mAB→＝12－1mAB→＋12AC→，同理NO→＝12－1nAC→＋12AB→，M，O，N三点共线，故12－1mAB→＋12AC→＝λ12－1nAC→＋12AB→，即...
