2.2.3向量数乘运算及几何意义？向量加法和减法的区别形法则进行问题二：运用平行四边？向量加法和减法的区别则进行问题一：运用三角形法知识回顾：试作出：试作出：aa++aa++aa和和(-(-aa)+(-)+(-aa)+(-)+(-aa))已知非零向量已知非零向量aa（如图）（如图）aaaaaaaaOOAABBCC-a-a-a-a-a-aPPQQMMNN相同向量相加以后，和的长度相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？与方向有什么变化？一般地，实数一般地，实数λλ与向量与向量aa的的积积是一个是一个向量向量，，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作λλaa，，它的它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1)|(1)|λλaa|=||=|λλ||||aa||(2)(2)当当λ>0λ>0时时,,λλaa的方向与的方向与aa方向相同；方向相同；当当λ<0λ<0时时,,λλaa的方向与的方向与aa方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当λ=0λ=0或或a=0a=0时时,,λλaa==00数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向伸长或缩小。aa(>0)a(<0)数乘的几何意义是什么？思考？设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，λ,μλ,μ为任意为任意实数实数，则有：，则有：①①λ(μλ(μaa)=(λμ))=(λμ)aa②②((λ+μλ+μ))a=a=λλa+a+μμaa③③λ(λ(a+ba+b)=λ)=λa+a+λλbb例例11计算：计算：(1)((1)(--3)×43)×4aa(2)3((2)3(a+ba+b))–2(–2(a-ba-b))-a-a(3)(2(3)(2aa+3+3b-cb-c))–(3–(3a-a-22bb++cc))-1-122aa55bb-a+-a+55b-b-22ccab,、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量以及任意实数恒有12、、，22aa11(b)=b向量共线定理：向量a(a≠0),bb=a(唯一实数)<==>a‖b从左到右：对于向量a(a≠0)与b,如果有一个实数，使b=a，那么由向量数乘的定义知，向量a与b是共线的。从右到左：向量a(a≠0)与b共线，若向量b的长度是a的长度μ倍，即∣b∣=μ∣a∣。那么，当a与b同向时，有b=μa,当a与b反向时，有b=-μa，当b=0时，则μ=0。总之，都可以表示成b=a（其中唯一确定）。例2：如图所示，OBABA``已知：OA`=3OA，A`B`=3AB，你能判断OB与0B`是否共线吗？解：OB`=OA`+A`B`=3OA+3AB=3(OA+AB)=3OBOB`=3OB即：OB与0B`共线。知识小结知识小结一、一、①①λλaa的定义及运算律的定义及运算律②②向量共线定理向量共线定理(a≠0)(a≠0)b=b=λλaa向量向量aa与与bb共线共线二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明向量共线证明向量共线2.2.证明三点共线证明三点共线:AB=:AB=λλBCA,B,CBCA,B,C三点共线三点共线3.3.证明两直线平行证明两直线平行::AB=AB=λλCDABCD∥CDABCD∥ABAB与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上直线直线AB∥AB∥直线直线CDCD课本课本::PP9191第第99题题PP9292第第1212题，题，第第1313题题如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点MM是是ABAB中点，中点，点点NN在线段在线段BDBD上，且有上，且有BN=BDBN=BD，求证：，求证：MM、、NN、、CC三点共线。三点共线。31ADBCMN提示：设提示：设AB=AB=aaBC=BC=bb则则MN=…=MN=…=a+a+bb6131MC=…=MC=…=a+a+bb21
