第34讲等差、等比数列的性质及综合应用【学习目标】运用类比的思想理解并记忆等差、等比数列的常用性质．掌握性质运用的方法与技巧，并能综合等差、等比数列的基本公式进行灵活运用．【基础检测】1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()A．4B．5C．6D．7B【解析】 a3a11＝16，∴a27＝16.又等比数列{an}的各项都为正数，∴a7＝4. a10＝a7·q3＝4×23＝25.∴log2a10＝5.2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2B.13(2n－1)2C．4n－1D.13(4n－1)【解析】若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则an＝2n－1，a1＝1，q＝2，所以a21＋a22＋…＋a2n＝13(4n－1)，故选D.D3．已知{an}为等差数列，若a11a10<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n的值为____．【解析】由条件知等差数列{an}是首项为正，公差为负的递减数列．又a11a10<－1，所以a11<0，a10>0，且a10＋a11<0.∴S20＝20（a1＋a20）2＝20（a10＋a11）2<0，S19＝19（a1＋a19）2＝19a10>0，故当Sn取得最小正值时n＝19.19【解析】因为{an}为等比数列，所以am－1am＋1＝a2m，又由am－1am＋1－2am＝0，从而am＝2.由等比数列的性质可知前(2m－1)项积T2m－1＝a2m－1m，即22m－1＝128，故m＝4.4．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝____．4【知识要点】1．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则an，an＋m，an＋2m，…(n，m∈N*)是公差为_______的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.md2．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：________________(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则________________．(3)若等比数列{an}的公比为q，则1an是以1q为公比的等比数列．(4)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项的和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．an＝am·qn－mak·al＝am·an一、等差数列性质及应用例1(1)等差数列{an}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，求a99＋a100；(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋14n＋27，求a11b11的值；(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d<0，满足S12>0，S13<0，求Sn达到最大值时对应的项数n的值．【解析】(1)将相邻两项和a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，a99＋a100分别记为b1，b2，b3，…，b50，可知{bn}成等差数列．此数列的公差d＝b10－b510－5＝b－a5.a99＋a100＝b50＝b5＋45·d＝a＋b－a5×45＝9b－8a.(2)因为anbn＝2an2bn＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝（a1＋a2n－1）2n－12（b1＋b2n－1）2n－12＝S2n－1T2n－1，所以a11b11＝S21T21＝7×21＋14×21＋27＝43.(3)因为S12＝（a1＋a12）×122＝6(a6＋a7)>0，S13＝（a1＋a13）×132＝13a7<0，所以a6>0，a7<0，故当n＝6时，S6取最大值．【点评】运用性质须认真分析两项的项数和的规律，对于等差数列，若两项的项数和相等，则对应项的和也相等．二、等比数列性质及应用例2(1)在等比数列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，求a41·a42·a43·a44的值；【解析】由等比数列{an}可构造等比数列{bn}b1＝a1a2a3a4，b2＝a5a6a7a8，b3＝a9a10a11a12，b4＝a13a14a15a16，设{bn}的公比为q，则q3＝b4b1＝8，∴q＝2，b11＝a41a42a43a44＝b1q10＝210＝1024.(2)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．①求数列{an}的公比；②证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．【解析】①设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.②证法一：对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋...
