高考数学总复习 第3讲 坐标系与曲线的极坐标方程课件VIP免费

第3讲坐标系与曲线的极坐标方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做，从O点引一条射线Ox，叫做，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．极点极轴设M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．OM射线OM(ρ，θ)(2)极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝，y＝.又可得到关系式：ρ2＝，tanθ＝.ρcosθρsinθx2＋y2yx2．直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．推导如下：如图所示，设直线l上任意一点为P(ρ，θ)，在△POM中，由正弦定理，得OPsin∠OMP＝OMsin∠OPM.因为∠OMP＝π－α＋θ0，∠OPM＝α－θ，所以直线l的极坐标方程是ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(*)(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程θ＝(ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线(如图①)；ρcosθ＝表示过(a,0)且垂直于极轴的直线(如图②)；ρsinθ＝表示过b，π2且平行于极轴的直线(如图③)．αab3．圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.推导如下：如图所示，设圆上任意一点为P(ρ，θ)，在△POM中，由余弦定理，得PM2＝OM2＋OP2－2OM·OPcos∠POM，故圆的极坐标方程是ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程ρ＝表示圆心在极点，半径为r的圆(如图①)．ρ＝表示圆心在(r,0)，半径为r的圆(如图②)；ρ＝表示圆心在r，π2，半径为r的圆(如图③)．2rcosθ2rsinθr诊断自测1．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标．解ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得x2＋y2－2y＝0，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为2，3π4.2.(2011·镇江调研)若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2sinθ，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．解法一由ρ＝1，得x2＋y2＝1.又ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ.所以x2＋y2－2y＝0.由x2＋y2＝1，x2＋y2－2y＝0，得A32，12，B－32，12，所以AB＝3.法二由ρ＝1，ρ＝2sinθ，得2sinθ＝1，解得θ＝π6或θ＝56π.所以点A、B的极坐标为A1，π6，B1，56π.在△AOB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝23π，故AB＝3.3．(2013·广州广雅中学模拟)在极坐标系中，求圆ρ＝4上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝8的距离的最大值．解把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cosθ＋3sinθ)＝8化为直角坐标方程为x＋3y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝82＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.【例1】(1)把点M的极坐标－5，π6化成直角坐标；(2)把点M的直角坐标(－3，－1)化成极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．(3)把点P的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)．解(1) x＝－5cosπ6＝－523，y＝－5sinπ6＝－52，∴点M的直角坐标是－523，－52(2)ρ＝－32＋－12＝3＋1＝2，tanθ＝－1－3＝33. 点M在第三象限，ρ>0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M的极坐标是2，7π6.(3)ρ＝62＋－22＝22，tanθ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝11π6.因此，点P的极坐标为22，11π6规律方法(1)极坐标方程与直角坐标方程互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.(2)一个点的极坐标有多种表达形式．极坐...