第69讲直线与圆锥曲线的位置关系【学习目标】1．掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；2．掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法；3．能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆锥曲线的综合问题；4．理解数形结合的思想．【基础检测】1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为()A．1B．1或3C．0D．1或0【解析】由y＝kx＋2，y2＝8x，消去y整理得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，由直线与抛物线只有一个公共点得k≠0，Δ＝（4k－8）2－16k2＝0或k＝0，解得k＝1或k＝0.D2．已知直线l：x＋ky－3k＝0，如果它与双曲线x24－y23＝1只有一个公共点，则k的取值个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】直线经过定点(0，3)，过该点可作双曲线的两条切线，或分别与两条渐近线平行的直线，此时直线l与双曲线只有一个公共点，故这样的k值有4个．D3．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且y12＝2px1，y22＝2px2，两式相减可得2p＝y1－y2x1－x2×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，∴p＝1，故抛物线C的方程为y2＝2x.B4．设斜率为1的直线l与椭圆C：x24＋y22＝1相交于不同的两点A，B，则使|AB|为整数的直线l共有_____条．【解析】设直线AB的方程为y＝x＋b，代入椭圆C：x24＋y22＝1中消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－4＝0.由Δ＝16b2－12(2b2－4)>0，得b2<6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝2×（x1＋x2）2－4x1x2＝2×－4b32－4×2b2－43＝436－b2，分别取b2＝154，8716，1516时，可分别得AB＝2，1，3，由椭圆的对称性知对应的直线l有6条．6【知识要点】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0f（x，y）＝0，消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线和圆锥曲线C相交于不同的两点；Δ＝0⇔直线和圆锥曲线C相切于一点；Δ<0⇔直线和圆锥曲线C没有公共点．(2)当a＝0时，若圆锥曲线是双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行或重合；若圆锥曲线是抛物线，则直线l与抛物线的__________平行(或重合)．2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦．(2)圆锥曲线弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)则|AB|＝_______________＝_____________________＝_________________．(抛物线的焦点弦长|AB|＝__________________，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．对称轴2121kxx22121214kxxxx12211yyk1222sinPxxP【解析】设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：x12a2－y12b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式作差，得y1－y2x1－x2＝b2（x1＋x2）a2（y1＋y2）＝－12b2－15a2＝4b25a2.一、中点弦问题例1已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，求E的方程．又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9，得a2＝4，b2＝5.所以双曲线的标准方程是x24－y25＝1.【点评】有关弦中点的轨迹、中点弦所在直线的方程、中点坐标问题，一般采用如下两种方法：(1)“设而不求”的方法．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地，首先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中有四个参数x1，y1，x2，y2，它们只是过渡性符号，通常是不需要具体求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法．(2)作差法．在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程时...
