§2三角变换与解三角形真题热身1．(2011·重庆)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A．43B．8－43C．1D．23解析由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4
① a2＋b2－c2＝2abcosC，故方程①化为2ab(1＋cosC)＝4
∴ab＝21＋cosC
又 C＝60°，∴ab＝43
A2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c
若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°解析由sinC＝23sinB，根据正弦定理，得c＝23b，把它代入a2－b2＝3bc得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2
由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32，又 0°C⇔a>b>c⇔sinA>sinB>sinC
(3)a＝bcosC＋ccosB
分类突破一、三角变换及求值例1已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2
(1)求tan2α的值；(2)求β的值．解(1)由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437
∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43
于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347
(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2
又 cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝1－13142＝3314
由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，又0
