2015’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十二)(推理与证明及数学归纳法)时间：60分钟总分：100分【解析】①是大前提，②是小前提，③是结论．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．推理：“①矩形是特殊的平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①和③B【解析】因为a2＋b2－1－a2b2≤0，所以(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.（a＋b）22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0D【解析】由cosA＝b2＋c2－a22bc<0，知b2＋c2－a2<0，∴a2>b2＋c2，选C.3．在非等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，则a，b，c三边应满足的条件是()A．a2b2＋c2D．a2≤b2＋c2C【解析】由题意，考虑sinθ≥0且cosθ≥0的否定，由于sinθ≥0且cosθ≥0表示sinθ，cosθ大于等于0都成立，故其否定为sinθ，cosθ不都大于等于0，选C.4．用反证法证明命题“若sinθ1－cos2θ＋cosθ·1－sin2θ＝1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是()A．sinθ≥0或cosθ≥0B．sinθ<0且cosθ<0C．sinθ<0或cosθ<0D．sinθ>0且cosθ>0C【解析】在“黄金双曲线”中，B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)． FB→⊥AB→，∴FB→·AB→＝0.∴b2＝ac.而b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2得e＝5＋12.5．如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB→⊥AB→时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1A【解析】∴a＝21，b＝9∴a＋b＝30.6．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中最小的数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝()A．33B．32C．30D．29C1223434774………【解析】f(2)＝2，f(3)＝4＝2＋2，f(4)＝7＝2＋2＋3，f(5)＝11＝2＋2＋3＋4，归纳：f(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝1＋（n－1）n2＝n2－n＋22.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．如图，数表满足：①第n行首尾均为n；②表中递推关系类似杨辉三角．记第n(n>1)行第2个数为f(n)．根据数表中上下两行的数据关系，可求得当n≥2(n∈N*)时，f(n)＝____________________．222nn【解析】此类问题是平面问题与空间问题的类比，通常可抓住几何要素间的对应关系作对比．8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是__________________________．22221234SSSS9．对于等差数列{an}，有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题：111b1stnsttsbbb－－若等比数列中，＝，设，是互不相等的正整数，则＝．10．把正整数排列成三角形数阵(如图甲)，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到新的三角形数阵(如图乙)，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，被擦去的数字按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{bn}.123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536……………………………图甲124579101214161719212325262830323436…………………………图乙(1)数列{bn}的前10项的和是_______；(2)a2014＝___________．1403965三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为xn，该年的增长量yn和xn与1－xnm的乘积成正比，比例系数为λ(0<λ<1)，其中m是与n无关的常数，且x1
