高考数学二轮复习 专题3第12讲 数学归纳法精品课件 大纲人教版 课件VIP专享VIP免费

第12讲数学归纳法第第1212讲数学归纳法讲数学归纳法主干知识整合第12讲│主干知识整合1．数学归纳法证明的步骤：(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确．这两个步骤缺一不可，第(1)步p(n0)成立是推理的基础，第(2)步p(k)⇒p(k＋1)是推理的依据．在第(2)步中，证明n＝k＋1命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．2．数学归纳法是证明关于正整数命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点，近几年高考试题不但要求能用数学归纳法证明现成的结论，而且加强了对不完全归纳法的考查，既要求归纳出结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成观察——归纳——猜想——证明的思维模式．要点热点探究第12讲│要点热点探究►探究点一函数与导数的综合例1对任意正偶数n，求证：1－12＋13－14＋…＋1n－1－1n＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n【分析】要证的等式对于正偶数成立，初始值为n＝2，假设n＝2k(k∈N*)时式子成立后，需要证明n＝2k＋2时式子也成立．【解答】证明：(1)当n＝2时，等式左边＝1－12＝12，等式右边＝212＋2＝12，∴左边＝右边，等式成立．第12讲│要点热点探究(2)假设n＝2k(k∈N*)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝212k＋2＋12k＋4＋…＋122k，那么，当n＝2k＋2(k∈N*)时，有1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝212k＋2＋12k＋4＋…＋122k＋12k＋1－12k＋2＝212k＋4＋12k＋6＋…＋14k＋14k＋2＋14k＋4＋22k＋2－24k＋2－24k＋4＋12k＋1－12k＋2＝212k＋2＋2＋12k＋2＋4＋…＋122k＋2∴对n＝2k＋2(k∈N*)，等式成立．故由(1)、(2)可知对一切正偶数n＝2k(k∈N*)，等式成立．【点评】本题为数学归纳法证明问题的一种新题型，传统问题论证一般对连续正整数成立，而这里变成对连续正偶数成立，归纳假设为n＝2k，与它连续的是2k＋2，相当于由k到k＋1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用，把它用活；当然此题也可假设n＝k(k为正偶数)成立，证明n＝k＋2成立．第12讲│要点热点探究是否存在常数a，b，c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(an2＋bn＋c)对一切n∈N*都成立？证明你的结论．【解答】假设存在常数a，b，c使得等式成立．则当n＝1,2,3时，有222222112(),611223(42),212233493,abcabcabc解得a＝3，b＝11，c＝10，以下用数学归纳法证明：1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112·(3n2＋11n＋10)．(1)当n＝1时，左边＝1·22＝4，右边＝4，等式成立．第12讲│要点热点探究(2)假设当n＝k(k∈Z＋)时，等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk＋112·(3k2＋11k＋10)，则当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝kk＋112(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝kk＋112(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2＝k＋1k＋212(3k2＋5k＋12k＋24)＝k＋1k＋212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)、(2)知等式对一切正整数n都成立．第12讲│要点热点探究►探究点二数学归纳法证明不等式问题例2已知x≥1时，不等式12x－1x≥lnx恒成立，证明：1＋12＋13＋…＋1n＞ln(n＋1)＋n2n＋1(n≥1)．【分析】用数学归纳法证明，注意待证式与已知不等式之间的结构联系，采用换元法，从整体上把握式子的结构，将问题加以解决．【解答】用数学归纳法证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝ln2＋14＜1，不等式成立；(2)假设n＝k时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k＞ln(k＋1)＋k2k＋1，第12讲│要点热点探究那么当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＞ln(k＋1)＋k2k＋1＋1k＋1＝ln(k＋1)＋k＋22k＋1，对于不等式12x－1x≥lnx，令x＝k＋2k＋1，得12k＋2k＋1－k＋1k＋2≥lnk＋2k＋1＝ln(k＋2)－ln(k＋1)，∴ln(k＋1)＋k＋2...